Matrixfunktionen via randomisiertem Sketching

• Antragsteller: Dr. Marcel Schweitzer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 538686094

Auf dem Gebiet der numerischen linearen Algebra (NLA) findet derzeit - mit dem Aufkommen schneller und skalierbarer randomisierter Algorithmen für viele Kernprobleme der linearen Algebra - ein Paradigmenwechsel statt. Das prominenteste Beispiel dafür ist vermutlich die inzwischen sehr weit verbreitete randomisierte Singulärwertzerlegung. Ein wichtiges Konzept, das in den letzten Jahren im Kontext der randomisierten NLA immer weitere Verwendung findet, ist das sogenannte "Sketch-and-solve"-Paradigma. Während es zunächst nur - sehr erfolgreich - für Berechnungen mit eher groben Genauigkeitsanforderungen eingesetzt wurde, z. B. für die (Miedrigrang-) Matrixapproximation oder die Konstruktion von randomisierten Vorkonditionierern, wurde kürzlich in explorativen Studien entdeckt, dass es auch für hochgenaue NLA-Berechnungen anwendbar ist, z. B. für die Lösung linearer Gleichungssysteme, für Eigenwertberechnungen und für die Approximation von Matrixfunktionen. Während diese explorativen Studien vielversprechende Ergebnisse zeigen, sind viele Fragen bezüglich der numerischen Stabilität, der erreichbaren Genauigkeit und der theoretischen Grundlagen noch größtenteils ungeklärt. In diesem Forschungsprojekt wollen wir Fortschritte bei der Beantwortung dieser Fragen erzielen, um ein zuverlässiges, randomisiertes Krylov-Unterraumverfahren zur Berechnung der Aktion großer Matrixfunktionen auf Vektoren (wie sie z. B. bei der exponentiellen Zeitintegration von Differentialgleichungen auftreten) zu erhalten. Neben einem tieferen theoretischen Verständnis der randomisierten Krylov-Unterraum-Methoden wollen wir eine robuste, skalierbare Implementierung mit einfach zu bedienenden Schnittstellen bereitstellen, die Praktiker leicht für Simulationen aus einem breiten Spektrum von Anwendungsbereichen nutzen können. Obwohl wir uns speziell auf die Berechnung von Matrixfunktionen konzentrieren, ist zu erwarten, dass sich viele Entwicklungen in ähnlicher Weise auch auf verwandte Probleme übertragen lassen (z.B. die Lösung von linearen Gleichungsysteme oder Matrixgleichungen).

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen