Höhere Lie Theorie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Lie-Theorie befasst sich mit dem Verhältnis zwischen globalen und infinitesimalen Symmetrien geometrischer Objekte. Mathematisch äussert sich dieses Verhältnis durch eine Adjunktion zwischen Lie Gruppen (e.g. dem Raum aller Drechung im Raum) und Lie Algebren (z.B. dem Raum der schiefsymmetrischen Matrizen). Die Prozedur vom Globalen zum Infinitesimalen heisst Differenziation und die umgekehrte Richtung heisst Integration. Höhere Lie Theorie ist eine signifikante Erweiterung dieses Konzepts und erlaubt das Studium von Symmetrien, die selbst wieder Symmetrien haben. Die globalen Objekte in diesem Kontext sind Lie-unendlich-Gruppoide (spezielle simpliziale Mannigfaltigkeiten) und die infinitesimalen sin Q-Mannigfaltigkeiten. In diesem Projekt haben wir die Differenziation und Integration im Kontext höherer Lie-Theorie untersucht. Auf Seite der Differenzierung ist unser zentrales Resultat die Konstruktion eines Van Est homomorphismus genereller simplizialer Mannigfaltigkeiten, welcher es erlaubt kohomologische Eigenschaften zwischen einer simplizialen Mannigfaltigkeiten und der ihr assoziierten Q-Mannigfaltigkeit (ihrem Tangentialkomplex) zu vergleichen. Ausserdem haben wir mathematische Werkzeuge entwickelt, mit denen man den Homomorphismus in konkreten Bespielklassen (wie z.B. Lie Gruppoiden oder strikten 2-Gruppen) ausrechnen kann. Auf der Integrationsseite ist der wichtigste Fortschritt im Rahmen des Projektes die Konstruktion einer fast-simplizialen Mannigfaltigkeit aus einer beliebigen azyklischen Q-Mannigfaltigkeit. Viele Q-Mannigfaltigkeiten haben einen ’azyklischen Schatten’ - eine Version von ihnnen, aus der alle Isotropie entfernt wurde. Solche azyklischen Q-Mannigfaltigkeiten sind komplett durch eine singuläre Blätterung beschrieben, und ihre Integration nutzt Methoden aus dem Bereich der singulären Blätterungen. Ausserdem haben wir angefangen an Tepui-Faserungen zu arbeiten, einem diffeologischen Ansatz zur Differenziation und Integration singulärer Lie Gruppoide und Lie Algebroide. Dieser Ansatz, der nur die Information der ’ersten Symmetrieschicht’ der höheren Lie-Theorie beschreibt, lässt sich anwenden, sogar wenn eine gegebene singuläre Blätterung nicht durch eine Q-Mannigfaltigkeit (azyklisch oder nicht) beschrieben werden kann. Dies gibt eine konzeptuelle Erklärung, warum z.B. Holonomie-Gruppoide singulärer Blätterungen sich gut verhalten, selbst wenn sie nicht zu einer simplizialen Mannigfaltigkeit ergänzt werden können.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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An invitation to singular foliations
Camille Laurent-Gengoux, Ruben Louis & Leonid Ryvkin
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The holonomy Lie 8-groupoid of a singular foliation I
Ruben Louis & Camille Laurent-Gengoux
