Anisotrope Krümmungsflüsse in der Flächenmodellierung
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In diesem Projekt wurden Modelle untersucht, um Kurven und Flächen zu restaurieren und zu modellieren. Dabei wurden geometrische Variationsprobleme formuliert und dazu gehörige geometrische Evolutionsprobleme gelöst. Der besondere Schwerpunkt lag dabei auf geometrischen Funktionalen zweiter Ordnung und hier dem isotropen sowie dem anisotropen Willmore-Funktional. Ziel war es nichtglatte, zum Teil zerstörte Geometrien zunächst lokal mit Hilfe nichtglatter Wulff-Formen zu klassifizieren und dann mittels eines anisotropen Krümmungsflusses zweiter oder vierter Ordnung mit positionsabhängiger Anisotropie die eigentliche Bearbeitung der Fläche vorzunehmen. Zunächst wurde in diesem Projekt der isotrope Fall behandelt, in dem ein zerstörtes Flächenstück durch Generierung einer glatten Ergänzung, die sich glatt - stetig und mit stetigem Normalenfeld - an die restliche Fläche anschließt, rekonstruiert wurde. Diese Flächenrekonstruktion geschah mittels des isotropen Willmore-FIusses. Darüber hinaus wurden Kanten und Ecken mit entsprechenden anisotropen Flussmodellen rekonstruiert. Hier stellte sich allerdings das Problem, dass es einerseits im anisotropen Fall zu starken tangentialen Gitterverzerrungen kommt und andererseits die im Projekt zunächst entwickelte Finite-Elemente-Methode für anisotropen Willmore-Fluss höhere Ableitungen der Anisotropie benötigt, obwohl im hier interessanten singulären Fall die Anisotropie nur Lipschitz-stetig ist. Das Problem der tangentialen Verzerrungen wurde zunächst durch Gitteradaption bearbeitet. Die gesamte Problemstellung führte darüber hinaus zu im Antrag so nicht beschriebenen intensiven Untersuchungen, aus denen schliesslich ein neues Verfahren für den Willmore-Fluss hervorging. Dieses neue Verfahren wird hier genauer dargestellt. Es basiert auf der Idee natürlicher Diskretisierungen von Gradientenflüssen. In jedem Zeitschritt wird dabei ein Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen gelöst. Diese Formulierung basiert auf einer Trennung von Dissipation und Energie. Die Willmore-Energie zur neuen Zeit wird approximiert basierend auf einer mittleren Krümmung, die sich als diskrete Geschwindigkeit in einem impliziten Eulerverfahren für den mittleren Krümmungsfluss ergibt. Letztlich kann das sich ergebende Verfahren als ein variationelles Zweischritt verfahren interpretiert werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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A finite element method for surface restoration with smooth boundary conditions. Computer Aided Geometric Design, 21(5):427-445, 2004
U. Clarenz, U. Diewald, G. Dziuk, M. Rumpf, and R. Rusu
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A level set formulation for Willmore flow. Interfaces and Free Boundaries, 6(3):361-378, 2004
M. Droske and M. Rumpf
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Robust feature detection and local classification for surfaces based on moment analysis. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics, 10(5):516-524, 2004
U. Clarenz, M. Rumpf, and A. Telea
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Surface processing methods for point sets using finite elements. Computer and Graphics, 28(6):851 - 868, 200
U. Clarenz, M. Rumpf, and A. Telea
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The Wulff-shape minimizes an anisotropic Willmore functional. Interfaces and Free Boundaries, 6(3):351-359, 2004
U. Clarenz
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Anisotrope Krümmungsflüsse parametrischer Flächen sowie deren Anwendung in der Flächenverarbeitung. Dissertation, University Duisburg, 2005
U. Diewald
