Lorentzpolynome und Gleichheit in log-konkaven Ungleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Hendrik Süß; Professor Dr. Thomas Wannerer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539864509

Unser Projekt baut auf den jüngsten Durchbrüchen in zwei verschiedenen Bereichen der Mathematik auf. In der Kombinatorik haben der Fields-Medaillengewinner June Huh und seine Mitarbeiter die neue Perspektive etabliert, dass im Hintergrund log-konkaver Ungleichungen häufig ein sogenanntes Kähler-Paket steht. Dieses beinhaltet Analoga zur Poincaré-Dualität, dem schweren Lefschetz-Satz und den Hodge-Riemann-Relationen. Diese Herangehensweise hat zum Beweis langjähriger Vermutungen in der Kombinatorik geführt. Als Ergebnis und weitere Abstraktion dieses Ansatzes kann die von Brändén und Huh entwickelte Theorie der Lorentzschen Polynome betrachtet werden. In der Konvexgeometrie war das Problem der Charakterisierung der Gleichheitsfälle in der Alexandrov-Fenchel-Ungleichung seit den grundlegenden Arbeiten von Alexandrov und Minkowski zu diesem Thema offen. In einem kürzlichen Durchbruch haben Shenfeld und van Handel dieses Problem im wichtigen Spezialfall der Polytope vollständig gelöst. Nicht nur für geometrische, sondern auch für kombinatorische Ungleichungen stellt sich die Frage nach Gleichheitsfällen. Die Maschinerie aus Kähler-Paket und Lorentzpolynomen erweist sich jedoch in vielen Fällen als unzureichend, um Gleichheitsfälle zu charakterisieren. Andererseits wurde die Arbeit von Shenfeld und van Handel kürzlich zur Charakterisierung der Gleichheitsfälle in Stanleys Ungleichung für Posets verwendet. Eine Reihe damit zusammenhängender Probleme scheinen dadurch nun in greifbare Nähe zu rücken. Die hier vorgestellten Forschungsfragen zielen auf ein tieferes Verständnis kürzlich entdeckter, Log-Konkavität erhaltender Operationen aus der Theorie der Lorentzpolynome. Über das intrinsische Interesse hinaus besteht die Hauptmotivation für unsere Forschung darin, genaue Information über die Gleichheitsfälle in log-konkaven Ungleichungen zu erhalten. Hauptziele dieses Projekts sind die Charakterisierung der Gleichheitsfälle in der verallgemeinerten Alexandrov-Fenchel-Ungleichung und der Kahn-Saks-Ungleichung für konvexe Polytope und die Anwendung auf kombinatorische Ungleichungen aus der Poset-Theorie. Ein entscheidendes Merkmal der von uns vorgeschlagenen Methoden ist die Nutzung tiefer Verbindungen und Synergien zwischen Kombinatorik, Konvexität und algebraischer Geometrie.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien