Neue Werkzeuge aus der kombinatorischen Topologie, Garbentheorie und homologischen Algebra für die Untersuchung von Hyperebenenarrangements und orientierten Matroiden

• Antragsteller: Dr. Paul Mücksch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539874788

Hyperebenenarrangements und (orientierte) Matroide - ihre abstrakten kombinatorischen Gegenstücke - sind klassische Objekte der diskreten Geometrie und Kombinatorik. Ihre Untersuchung offenbart überraschende und tiefe Verbindungen zwischen Algebra, Kombinatorik, algebraischer Geometrie und Topologie. Im Laufe der Jahre wurden bemerkenswerte Ergebnisse hinsichtlich des Zusammenspiels von geometrischen, topologischen, algebraischen und kombinatorischen Invarianten von Arrangements und (orientierten) Matroiden erzielt, und erst vor kurzem wurden bahnbrechende Ergebnisse durch eine moderne Synthese von Methoden aus der algebraischen Geometrie, der Topologie und der Kombinatorik erzielt, die langjährigen Vermutungen löste. Der vorliegende Antrag folgt dieser Philosophie der Kombination von Methoden aus verschiedenen Bereichen und zielt hin auf neue Ergebnisse zu wichtigen offenen Problemen in Bezug auf das Zusammenspiel von Algebra, Topologie und Kombinatorik von Arrangements, (orientierten) Matroiden, zugehörigen Varietäten und topologischen Räumen, wie das K(pi,1)-Problem für die Komplement-Mannigfaltigkeit eines komplexen Hyperebenenarrangements, die Beziehung von topologischen Invarianten von Milnor-Fasern zur Kombinatorik von (orientierten) Matroiden, und Teraos Freiheits-Vermutung über die kombinatorische Natur der kommutativ-algebraischen Eigenschaften von logarithmischen Derivationen. Wir werden neue Werkzeuge entwickeln, um ein besseres Verständnis für diese faszinierenden offenen Probleme zu erlangen, mittels Methoden aus der homologischen Algebra, der Garbentheorie, der abstrakten Homotopietheorie und der kombinatorischen Topologie, insbesondere mit Hinsicht auf eine relative Betrachtungsweise. Im Zentrum des Antrags stehen neue Ansätze mittels kombinatorischer Modelle von Faserungen und Garben auf partiell geordneten Mengen. Ein wichtiger Teil wird die Implementierung unserer neuen Strukturen, die an der Schnittstelle von Algebra, Topologie und Kombinatorik liegen, in etablierten Computeralgebra-Systemen wie SageMath, GAP und OSCAR, sein. Dies wird es uns ermöglichen, Datenbanken dieser Strukturen und ihrer Invarianten zu erstellen, die wiederum zur Entdeckung neuer Verbindungen genutzt werden können. Insbesondere wird eines unserer zentralen theoretischen Ergebnisse, welches wir anstreben, einen konkreten Komplex liefern, um (Ko-)Homologiegruppen von Milnor-Fasern reeller Arrangements zu berechnen. Dies wird zu einem neuen computerbasierten Ansatz für das langjährige offene Problem der kombinatorischen Natur der Betti-Zahlen von Milnor-Fasern führen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien
• Internationaler Bezug: Japan, Schweiz
• Kooperationspartner: Professor Dr. Takuro Abe; Professor Dr. Emanuele Delucchi; Professor Dr. Masahiko Yoshinaga
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Lukas Kühne