Greedy Kern-Surrogate für nichtlineare partielle Differentialgleichungen in hohen Dimensionen

• Antragsteller: Professor Dr. Bernard Haasdonk
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 540080351

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) auf hochdimensionalen Gebieten treten in vielen Zusammenhängen auf, z.B. in der optimalen Steuerung und Regelung oder bei parametrischen Problemen. Im Bereich der Surrogatmodellierung werden Approximanten gesucht, die schnell für neue Parameter, neue Punkte, etc. ausgewertet werden können, um sie in Multi-Query- oder Echtzeit-Szenarien anzuwenden. Solche Szenarien sind für traditionelle, gitterbasierte numerische Verfahren wie die Finite-Elemente-Methode problematisch. Diese Methoden sind in der Regel mit dem Fluch der Dimensionalität konfrontiert, d.h. mit zunehmender Dimension des Eingaberaums steigt die Expansionsgröße in der Anzahl der Basisfunktionen und damit der Auswertungsaufwand exponentiell an. In dem aktuellen Projekt wollen wir den Einsatz von gitterfreien Kernmethoden für diese Aufgaben entwickeln und untersuchen. Diese Verfahren werden durch die Wahl einer geeigneten Kernfunktion, der Zentren und des Approximationsschemas definiert. Sogenannte Greedy-Verfahren erzeugen extrem kompakte Approximationen, indem ein gegebenes Modell inkrementell "optimal" um eine weitere Komponente erweitern, bis eine geeignete Genauigkeit erreicht wird. In der reinen Funktionsapproximation brechen solche Verfahren nachweislich den Fluch der Dimension, da die Konvergenzraten einen dimensionsunabhängigen Reduktionsfaktor aufweisen. Aufgrund ihrer geringen Expansionsgröße eignen sich entsprechende Approximanten hervorragend als Surrogate. Unser Ziel ist die Formulierung von PDE-greedy-Approximationsverfahren für nichtlineare Probleme. Dies umfasst geeignete nichtlineare Iterationsschleifen um linearisierte Teilprobleme, für die verschiedene Optionen untersucht werden sollen. Wir werden problemabhängige Kernfunktionen konstruieren, da korrekt berücksichtigtes Vorwissen die Expansionsgröße reduzieren und damit die Konvergenzraten und Auswertekosten weiter verbessern kann. Diese Kernkonstruktion zielt zunächst darauf ab, die Ränder des Gebiets durch geeignete Gewichtung oder Transformation eines Basiskerns korrekt zu modellieren. Zweitens werden wir die Kerne an die zugrunde liegende PDE anpassen, indem wir geeignete mehrschichtige Kerne entwickeln. Die greedy Approximationsverfahren werden einer Konvergenzanalyse hinsichtlich der nichtlinearen Fixpunktiteration und der asymptotischen Approximationsraten unterzogen. Wir werden die Methoden implementieren, anwenden, validieren und numerisch mit anderen Approximationsverfahren vergleichen. Dies wird anhand geeigneter Benchmark-Problemen aus der Literatur durchgeführt. Insgesamt streben wir die Entwicklung einer leistungsfähigen Klasse von Approximationsverfahren für allgemeine nichtlineare PDEs für hohe Dimensionen, beliebige Geometrien und allgemeine Randbedingungen an, die zusätzlich einfach zu benutzen ist und auf guten theoretischen Konvergenzaussagen beruhen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Italien
• Kooperationspartner: Professor Dr. Gabriele Santin