Maximal superintegrable Systeme zweiter Ordnung: Semi-Degeneriertheit, Separabilität und assoziierte Symmetrie-Algebren.

• Antragsteller: Dr. Andreas Vollmer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 540196982

Das Projekt beleuchtet drei wesentliche Aspekte (maximal) superintegrabler Systeme zweiter Ordnung. Die erste Projektsäule ist die geometrische Charakterisierung von sogenannten "semi-degenerierten" Systemen (über die bis dato nur wenig bekannt ist), einschließlich konformer Transformationen solcher Systeme (was eine konform invariante Formulierung ermöglicht). Dazu wird einerseits ein (algebraisch-)geometrischer Formalismus verwendet, der für nicht-degenerierte Systeme bereits erfolgreich war. Zusätzlich wird ein (projektiv-)geometrischer Ansatz eingesetzt, der sich speziell für den semi-degenerierten Fall eignet. Die zweite Projektsäule befasst sich mit superintegrablen Systemen, die mit Systemen orthogonaler Separations-Koordinaten verknüpft sind. Ziel ist es, die Wechselbeziehung zwischen Superintegrabilität und Separabilität für nicht-degenerierte superintegrable Systeme zweiter Ordnung zu klären. Insbesondere möchte das Projekt klären, ob es solche Systeme gibt, die nicht von separablen Systemen abstammen. Superintegrable Systeme, die von bi-separablen Systemen erzeugt werden, werden im Rahmen des genannten geometrischen Formalismus beschrieben werden. Aus der Theorie von Separationskoordinaten ist eine reiche geometrische und kombinatorische Struktur bekannt, die im Rahmen des Projekts auf superintegrable Systeme übertragen werden kann (insbesondere eine Operadenstruktur, die es erlaubt, neue Systeme aus bekannten Beispielen zu gewinnen). Die dritte Säule des Projekts untersucht Symmetriealgebren für nicht-degenerierte superintegrable Systeme zweiter Ordnung. Dazu wird der sogenannte Koalgebra-Formalismus sowie der erwähnte geometrische Formalismus für superintegrable Systeme verwendet. Ziel ist es, systematisch zu klären, wie superintegrable Systeme aus Realisierungen der Algebren entstehen und welche geometrischen Eigenschaften sich ergeben. Längerfristig ist dies für das Verständnis spezieller Funktionen (z.B. orthogonaler hypergeometrischer Polynome) bedeutsam, die von superintegrablen Systemen erzeugt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Australien
• Kooperationspartner: Professor Jonathan Kress, Ph.D.; Dr. Ian Marquette