McCormick Relaxierungen für Gemischt-ganzzahlige PDE-beschränkte Optimierung

• Antragsteller: Professor Dr. Paul Manns
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 540198933

Das vorgeschlagene Projekt beforscht Optimierungsprobleme, die diskrete Entscheidungsvariablen enthalten und von partiellen Differentialgleichungen (PDEs) beschränkt werden. Diese Probleme sind im Allgemeinen schwierig zu lösen, weil sie die Schwierigkeiten eines stark wachsenden Entscheidungsbaums aus diskreter und kombinatorischer Optimierung mit der hohen Zahl an Variablen verbinden, die durch die Diskretisierung der zugrundeliegenden PDE entsteht. Eine Herausforderung, die bisher noch nicht stark beforscht wurde ist die Herleitung unterer Schranken für solche Probleme, falls die zugrundeliegende PDE nichtlinear und die kontinuierliche Relaxierung entsprechend nichtkonvex sind. In diesem Projekt betrachten wir strukturierte Nichtlinearitäten in der PDE, insbesondere eine bilineare Kopplung von Zustands- und Steuerungsvariablen. Ein Optimierungsproblem auf Basis der Helmholtzgleichung dient als Modellproblem für unser Projekt. Wir leiten konvexe Relaxierungen her, indem wir so genannte McCormick Relaxierungen aus endlich-dimensionaler diskreter Optimierung auf unsere unendlich-dimensionale Situation übertragen. Anschließend führen wir eine Diskretisierung und zugehörige numerische Analysis durch, um die McCormick Relaxierungen approximativ lösen und entsprechend untere Schranken für die untersuchte Problemklasse ausrechnen zu können. Weiterhin entwickeln wir eine Methode, um die Relaxierungen zu verschärfen. Schließlich integrieren wir die unteren Schranken und ihre Berechnungen in ein algorithmisches Framework für globale Optimierung der untersuchten Problemklasse.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: USA
• Kooperationspartner: Dr. Sven Leyffer, Ph.D.