Dynamik auf Charaktervarietäten und Hodge-Theorie

• Antragsteller: Dr. Yeuk Hay Joshua Lam
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541272769

Das Ziel des Projektes ist es, die Dynamik einer besonders reichhaltigen Klasse von Gruppenwirkungen, die als Zopfgruppenwirkungen bekannt sind, auf Charaktervarietäten zu studieren. Die Motivation hierzu stammt aus der algebraischen Geometrie, es gibt aber auch enge Zusammenhänge mit der Hodge-Theorie sowie der geometrischen Topologie. Eines der Ziele dieses Projektes ist es, neue Fälle der Motivitätsvermutung nach Simpson zu beweisen. Wir betrachten Gruppenwirkungen auf Räumen, welche als Charaktervarietäten von Flächen bekannt sind. Letztere werden klassischerweise in der algebraischen Geometrie und Topologie betrachtet. Sie spielen jedoch seit einigen Jahren beispielsweise auch im geometrischen Langlands-Programm eine wichtige Rolle. Grob gesprochen parametrisieren sie die Darstellungen der Fundamentalgruppe einer topologischen Fläche. Solche Darstellungen sind auch bekannt als lokale Systeme und unter ihnen sind die motivischen von besonderer Bedeutung. Diese sind genau die lokalen Systeme, die aus der algebraischen Geometrie stammen und somit im Vergleich zu einem beliebigen lokalen System eine besonders reiche Struktur aufweisen. Charaktervarietäten haben eine große Gruppe von Symmetrien, die Abbildungsklassengruppe. Man kann sich diese als die Menge aller Möglichkeiten vorstellen, einen topologischen Raum auseinanderzuschneiden und anschließend wieder zusammenzukleben. Das Projekt soll sich auf die bekannteste und wohl vielfältigste dieser Gruppenwirkungen, nämlich den Fall von punktierten Sphären, konzentrieren. In diesem Fall ist die Abbildungsklassengruppe als Zopfgruppe bekannt. Spezifischer sollen die “symmetrischsten" Punkte dieses dynamischen Systems klassifiziert werden, nämliche die Punkte, die endliche Bahnen haben. Diese bezeichnen wir als kanonische Punkte und es wird vermutet, dass sie motivisch sind. In einer jüngst erschienenen Arbeit zusammen mit Landesman und Litt konnten wir die kanonischen Punkte von Darstellungen vom Rang Zwei unter einer eher milden Bedingung vollständig klassifizieren. Mit Hilfe der Hodge-Theorie haben wir für dieses Problem einen neuen Ansatz entwickelt. Dies ist eine direkte Verallgemeinerung der altbekannten Klassifizierung der algebraischen Lösungen der Painlevé VI Gleichung, die in den letzten Jahren vermehrt Aufmerksamkeit erhalten hat. In diesem Projekt wollen wir unsere derzeitigen Methoden weiterentwickeln, um lokale Systeme höheren Rangs zu verstehen. Wie oben beschrieben, wird dies zu Beweisen von bisher unbekannten Fällen der Motivitätsvermutung führen. Hierfür werden wir neue Methoden in der Hodge-Theorie entwickeln. Um mehr über die Dynamik der Zopfgruppenwirkung zu verstehen, werde ich ebenfalls spezielle Untervarietäten, also jene welche endliche Bahnen unter der Wirkung der Zopfgruppe haben, betrachten. Von hieraus werde ich Zusammenhänge mit anderen Gebieten, wie zum Beispiel der Geometrie der Kurven oder auch der analogen Fragestellung in positiver Charakteristik, herstellen.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle