Effiziente Näherungsverfahren für die Matrix-Funktionen und die damit verbundenen sehr großen linearen Gleichungssysteme, welche im Overlap-Modell der Fermion-Diskretisierung in der Gittereichtheorie behandelt werden
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Wechselwirkung zwischen den Quarks als Bausteinen der Materie. Die Auswertung der Theorie erfolgt im Rahmen der Gittereichtheorie durch umfangreiche Simulationsrechnungen auf Höchstleistungsrechnern. Das Overlap-Modell für die Fermion-Diskretisierung stellt innerhalb der Gittereichtheorie einen zentralen Fortschritt dar, denn es gelingt damit erstmalig, die fundamentale chirale Symmetrie der Kontinuums-QCD auf das Gitter zu übertragen. Der resultierende, neue „Overlap-Dirac-Operator" hat gegenüber früher verwendeten Standard-Diskretisierungen wie dem Wilson-Dirac-Operator allerdings keine lokale Struktur mehr. Der numerische Aufwand zur Auswertung des Overlap-Modells in Simulationsrechnungen ist damit um Größenordnungen höher als beispielsweise beim Wilson-Dirac-Operator. Im Projekt wurden verschiedene Verbesserungen erreicht, mit denen der Rechenaufwand bei der Simulation mit Overlap-Fermionen um bis zu eine Größenordnung reduziert werden konnte. Die prinzipielle Herausforderung besteht darin, dass in den Simulationen sehr große lineare Gleichungssysteme gelöst werden müssen, in welchen die System-Matrix nur implizit als Matrix-Signumsfunktion eines lokalen Gitter-Operators gegeben ist. Dadurch entsteht in natürlicher Weise ein „inner/outer"-Paradigma: In jedem Schritt der äußeren Iteration zur Gleichungslösung sind mehrere Schritte einer inneren Iteration zur Approximation der Wirkung der Matrix-Signums-Funktion auf den jeweiligen Richtungsvektor durchzuführen. Es wurden effiziente Verfahren entwickelt und analysiert, die insbesondere dieser „inner/outer"-Struktur Rechnung tragen. Im einzelnen gehören dazu geeignete Deflationsansätze zur Elimination der die Konvergenz verlangsamenden Eigenwerte, eine Abstimmung der Genauigkeit in der inneren Iteration in Abhängigkeit von der äußeren Iteration und die dafür benötigten Fehlerabschätzungen für die Wirkung der Matrix-Sigmuns-Funktion, die Umsetzung einer rekursiven Präkonditionierungsmethode für die äußere Iteration sowie die Entwicklung und Analyse von optimalen Krylov-Unterraumverfahren für die äußere Iteration. Zusätzlich wurde im Zusammenhang mit dynamischen Simulationen von Overlap-Fermionen eine Lösung für das Problem der 0-Übergänge von Eigenwerten erzielt, mit welcher auch in diesen Fällen günstige Akzeptanzraten im Hybrid Monte Carlo Prozess erreicht werden. Die erzielten Ergebnisse wurden in einem Referenz-Code umgesetzt, mit welchem auf verschiedenen parallelen Architekturen wie z.B. der BlueGene/P Produktionsrechnungen durchgeführt werden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Dynamical overlap simulations using HMG. Nucl. Phys. Proc. Suppl., 140 (2005), pp. 841-843
N. Cundy, S. Krieg, A. Frommer, T. Lippert, and K. Schilling
- Improving inversions of the overlap operator. Nucl. Phys. Proc. Suppl., 140 (2005), pp. 856- 858
S. Krieg, J. Van Den Eshof, A. Frommer, T. Lippert, and K. Schäfer
- Numerical methods for the QCD overlap operator. II: Optimal Krylov subspace methods. In: QCD and Numerical Analysis III, A. Borigi, A. Frommer, B. Joo, A. Kermedy, and B. Pendleton, eds., vol. 47 of Lecture Notes in Computational Science and Engineering, Springer, Berlin, 2005, pp. 153-167
G. Arnold, N. Cundy, J. Van Den Eshof, A. Frommer, S. Krieg, T. Lippert, and K. Schäfer
- Numerical methods for the QCD overlap operator. III: Nested iterations. Comp. Phys. Comm., 165 (2005), pp. 221-242
N. Cundy, J. Van Den Eshof, A. Frommer, S. Krieg, and K. Schäfer
- An iterative method to compute the sign Junction of a non-hermitian matrix and its application to the overlap Dirac operator at nonzero chemical potential. Comp. Phys. Comm., 177 (2007), pp. 933-943
J. Bloch, A. Frommer, B. Lang, and T. Wettig
- Krylov subspace methods for shifted unitary matrices and eigenvalue deflation applied to the Neuberger Operator and the matrix sign function. Dissertation, Fachbereich Mathematik und Naturwissenschaften, Universität Wuppertal (2008)
K. Schäfer
- Matrix functions. In: Model Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applications, W. H. A. Schilders, H. A. van der Vorst, and J. Rommes, eds., Mathematics in Industry, Springer, Heidelberg, 2008, pp. 275-304
A. Frommer and V. Simoncini
- Stopping criteria for rational matrix functions of hermitian and symmetric matrices. SIAM J. Sci. Comp., 30 (2008), pp. 1387-1412
- Numerical methods for the QCD overlap operator, IV: Hybrid Monte Carlo. Comp. Phys. Comm., (2009), pp. 26-54
N. Cundy, S. Krieg, G. Arnold, A. Frommer, T. Lippert, and K. Schilling
