Delone dynamische Systeme: Ergodentheorie, Diffraktion und Operatortheorie

• Antragsteller: Professor Dr. Peter Stollmann
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2004 bis 2010
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5424681

• Erstellungsjahr: 2010

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Bei der Beschreibung aperiodischer Ordnung durch Delonemengen und allgemeinere Maße sind in jüngster Vergangenheit bedeutende Fortschritte erzielt worden. Im Hinblick auf physikalische Anwendungen spielen die Diffraktionstheorie und die Spektraltheorie der zugehörigen Operatoren eine besonders wichtige Rolle. Die Ergodentheorie der zugrundeliegenden dynamischen Systeme hat sich neben dem eigenständigen Interesse als wesentliche Grundlage für die neueren Entwicklungen erwiesen. Im vorliegenden Projekt wurden diese drei Themenbereiche und ihre wechselseitigen Beziehungen untersucht. Dabei wurde besonderes Augenmerk auf folgende Punkte gelegt: den Zusammenhang zwischen dynamischem und diffraktivem Spektrum auch für allgemeinere Maße. Ergodensätze für Delone dynamische Systeme und die Konsequenzen der Konvergenzgüte in Diffraktionstheorie und Spektraltheorie. Die Rolle von Komplexitätseigenschaften bei ergodischen Eigenschaften von Delone dynamischen Systemen. Zu den genannten Fragen haben wir eine Reihe von Ergebnissen erzielt. Große Fortschritte hat es beim Verständnis des Zusammenhangs zwischen Diffraktionsspektrum und dynamischem Spektrum gegeben. Dazu sei erklärt, dass das Diffraktionsspektrum durch die Bragg-Peaks gegeben wird und somit die primär zugängliche Information aus dem Streuexperiment darstellt. Das dynamische Spektrum wird dem zugrundeliegenden dynamischen System zugeordnet und ist damit eine abstrakte operatortheoretische definierte Punktmenge. Besonders betonen wollen wir hier ein Ergebnis aus der Dissertation von S. Klassert an der TU Chemnitz: es besagt, dass aperiodische Ordnung des Potentials reines singuläres Spektrum impliziert. Als Meta-Theorem steht dies aus physikalischer Sicht außer Zweifel und wurde für einfachere diskrete Modellklassen auch bereits gezeigt. Dass es auch im kontinuierlichen Fall gilt, ist eine sehr schöne Konsequenz aus endlicher lokaler Komplexität und nichttrivialer Operatortheorie. Eine kürzlich fertiggestellte gemeinsame Arbeit von Klassert, Lenz und Stollmann liefert weitreichende Verallgemeinerungen der Resultate und beleuchtet die Frage, wie man einen geeigneten Begriff von endlicher lokaler Komplexität für Maße fassen kann.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Aperiodic linearly repetitive Delone sets are densely repetitive. Discrete Comput. Geom., 31(2):323-326, 2004
  Daniel Lenz
  
• Dynamical systems on translation bounded measures: pure point dynamical and diffraction spectra. Ergodic Theory Dynam. Systems, 24(6):1867-1893, 2004
  Michael Baake and Daniel Lenz
  
• Singular continuous spectrum for certain quasicrystal Schrödinger operators. In: Complex analysis and dynamical systems, volume 364 of Contemp. Math., pages 169-180. Amer. Math. Soc., Providence, RJ, 2004
  Daniel Lenz
  
• An ergodic theorem for Delone dynamical systems and existence of the integrated density of states. J. Anal. Math., 97:1-24, 2005
  Daniel Lenz and Peter Stollmann
  
• Deformation of Delone dynamical systems and pure point diffraction. J. Fourier Anal. Appl., 11(2):125-150, 2005
  Michael Baake and Daniel Lenz
  
• Elliptic operators on planar graphs: unique continuation for eigenfunctions and nonpositive curvature. Proc. Amer. Math. Soc, 134(5):1549-1559 (electronic), 2006
  Steffen Klassert, Daniel Lenz, Norbert Peyerimhoff, and Peter Stollmann
  
• Generic sets in spaces of measures and generic singular continuous spectrum for Delone Hamiltonians. Duke Math. J., 131(2):203-217, 2006
  Daniel Lenz and Peter Stollmann
  
• Generic subsets in spaces of measures and singular continuous spectrum. In: Mathematical physics of quantum mechanics, volume 690 of Lecture Notes in Phys., pages 333-341. Springer, Berlin, 2006
  Daniel Lenz and Peter Stollmann
  
• Characterization of model sets by dynamical systems. Ergodic Theory Dynam. Systems, 27(2):341-382, 2007
  Michael Baake, Daniel Lenz, and Robert V. Moody
  
• Pure point diffraction and cut and project schemes for measures: the smooth case. Math. Z., 256(2):347-378, 2007
  Daniel Lenz and Christoph Richard
  
• Pure point diffraction implies zero entropy for Delone sets with uniform cluster frequencies. Lett. Math. Phys., 82(l):61-77, 2007
  Michael Baake, Daniel Lenz, and Christoph Richard
  
• Random operators on Delone sets. PhD thesis, TU Chemnitz, 2007
  S. Klassert
  
• Aperiodic order and pure point diffraction. The Philosophical Magazine, 88:2059-2071, 2008
  Daniel Lenz
  
• Ergodic theorems on aperiodic tilings and applications. PhD thesis, Universite Paris 7, 2008
  A. Besbes
  
• Uniform ergodic theorems on aperiodic linearly repetitive tilings and applications. Rev. Math. Phys., 20(5):597-623, 2008
  Adnene Besbes
  
• Aperiodic order via dynamical systems: diffraction for sets of finite local complexity. In: Ergodic theory, volume 485 of Contemp. Math., pages 91-112. Amer. Math. Soc, Providence, RI, 2009
  Daniel Lenz
  
• Continuity of eigenfunctions of uniquely ergodic dynamical systems and intensity of Bragg peaks. Comm. Math. Phys., 287(1):225-258, 2009
  Daniel Lenz
  
• Extinctions and correlations for uniformly discrete point processes with pure point dynamical spectra. Comm. Math. Phys., 289(3):907-923, 2009
  Daniel Lenz and Robert V. Moody
  
• Pure point spectrum for measure dynamical systems on locally compact abelian groups. J. Math. Pures Appl. (9), 92(4):323-341, 2009
  Daniel Lenz and Nicolae Strungaru