Extremale geometrische Lagerungsprobleme und approximationstheoretische Anwendungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Zu einem wesentlichen Teil widmete sich das Projekt dem Studium geometrischer Pasterungen, also der Zerlegung von Punktmengen in paarweise äquivalente Teilmengen. Die lange bekannte, elementare Tatsache, dass eine Kreisscheibe der euklidischen Ebene nicht in zwei elementfremde, kongruente Teile zerlegbar ist, wurde in allgemeinen topologischen Vektorräumen untersucht. Für die meisten beschränkten, abgeschlossenen und konvexen Teilmengen in euklidischen Räumen wurde gezeigt, dass sie nicht in endlich viele paarweise kongruente, elementfremde Teile zerlegbar sind. Auch Pasterungen im elementargeometrischen Sinne (bei denen Punktmengen in äquivalente Teile zerlegt werden, die nicht notwendig elementfremd sind, sondern sich in Randpunkten berühren dürfen) wurden untersucht. Beispielsweise erlaubt jede offene Teilmenge der euklidischen Ebene eine elementargeometrische Pasterung durch unendlich viele paarweise inkongruente gleichseitige Dreiecke. Es wurden Eigenschaften und Konstruktionsprinzipien von beschränkten, abgeschlossenen (eventuell auch konvexen) Mengen in der euklidischen Ebene gefunden, die elementar in endlich viele Teile zerlegt werden können, welche zur Ausgangsmenge ähnlich oder affin äquivalent sind. Der elementare Zerlegungsbegriff ist auch im Zusammenhang mit der Zerlegungsgleichheit zweier Punktmengen der Ebene relevant. Hier geht es darum, die eine Menge so in endlich viele Teile zu zerlegen, dass kongruente oder ähnliche Bilder dieser Teile eine Zerlegung der zweiten Menge bilden. Neue Erkenntnisse betreffen die Zerlegungsgleichheit zwischen Kreis und Quadrat bzw. zwischen konvexen Polygonen. Einige Ergebnisse beantworten Fragen nach optimalen Packungen von verschobenen Kopien einer vorgegebenen Punktmenge in euklidischen oder allgemeineren Räumen bzw. nach optimalen Überdeckungen durch solche Kopien. Schließlich wurden auch spezielle geometrisch motivierte Eigenschaften von Funktionen studiert.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Squaring the circle via affine congruence by dissection with smooth pieces. Beiträge Algebra Geom. 48 (2007), 423–434
Richter, ...
- Most convex bodies are isometrically indivisible. J. Geom. 89 (2008), 130–137
Richter, ...
- Uniform approximation by bivariate step functions quasicontinuous with respect to single coordinates. Real. Anal. Exchange 33 (2007/2008), 323–338
Richter, ...
- Affine divisibility of convex sets. Bull. Lond. Math. Soc. 41 (2009), 757–768
Richter, ...
- Cardinality estimates for piecewise congruences of of convex polygons. Beiträge Algebra Geom. 50 (2009), 389–403
Richter, ...
- Saturated packings and reduced coverings obtained by perturbing tilings. Discrete Math. 309 (2009), 5060–5068
Richter, ..., A. Hinrichs
- Self-affine convex polygons. J. Geom. 98 (2010), 79–89
Richter, ..., E. Hertel
