Kotangentialbündel für höhere Lie-Gruppoide

• Antragstellerin: Professorin Dr. Chenchang Zhu, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 543037407

In diesem Projekt soll die explizite Form eines Kotangentialbündels für ein Lie $n$-Gruppoid gefunden werden. Bekanntlich ist eine der wichtigsten Komponenten symplektischer dynamischer Systeme und der klassischen Mechanik die natürliche symplektische Struktur $\omega_c$ auf dem Kotangentialbündel $T^*M$ einer Mannigfaltigkeit $M$. Viele natürliche symplektische Strukturen ergeben sich aus der symplektischen Reduktion von $(T^*M, \omega_c)$ als reduzierte Phasenräume. Auf einer höheren Ebene zeigen Pantov-Toen-Vaquie-Vezzosi und Calaque, dass das geshiftete Kotangentialbündel eines derivierten höheren Stacks eine geshiftete symplektische Struktur trägt. Im Gegensatz zur algebraischen Geometrie, wo ein Kotangentialbündel einfach als Spektrum der symmetrischen Algebra von Tangential-Garben definiert werden kann, kann das Konzept des Kotangentialbündels eines höheren Lie-Gruppoids nicht direkt als höheres Vektorbündel ($\VB$-)Gruppoid erhalten werden. Es gibt viele Lie $n$-Gruppoide, die denselben $n$-Stack repräsentieren. Wir glauben jedoch, dass es ein kanonisches $\VB$-Lie-$n$-Gruppoid gibt, das das Kotangensbündel darstellt, sobald wir ein festes Lie-$n$-Gruppoid $X$ wählen, das den $n$-Stack darstellt, so wie das Tangentialbündel kanonisch durch das tangentiale $\VB$-$n$-Gruppoid $TX$ gegeben ist. Man beachte, dass die naive Wahl $T^*X_i$ überhaupt keinen Sinn macht: Selbst für $n=1$ ist das Kotangential-Gruppoid eines Lie-Gruppoids $G:=G_1\rightrightarrows G_0$ $T^*G_1 \rightrightarrows A^*$, wobei $A$ das Lie-Algebroid von $G$ ist. Das Fehlen eines expliziten Ausdrucks für das höhere Kotangentialbündel hindert uns daran, höhere und derivierte Strukturen in dynamischen Systemen und in der Mechanik zu entwickeln. Das Ziel dieses Projektes ist es, alle diese Strukturen und insbesondere die kanonische geshiftete symplektische Struktur auf dem geshifteten Kotangentialbündel zu finden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen