Raue Invariante Mannigfaltigkeiten für stochastische Kuramoto-artige Modelle

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Alexandra Blessing; Professor Christian Kühn, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 543163250

Invariante Mannigfaltigkeiten sind wichtige geometrische Objekte zum Verständnis des Phasenraums dynamischer Systeme. Es ist technisch sehr anspruchsvoll, deterministische invariante Mannigfaltigkeitsmethoden auf das Setting stochastischer Systeme zu übertragen. Fortschritte in den letzten Jahren haben jedoch gezeigt, dass es mögliche Ansätze gibt, z.B. bieten die Ergebnisse der beiden PIs zur Kombination von rauen Pfaden mit zufälligen dynamischen Systeme Techniken eine mögliche Brücke. In diesem Projekt werden wir stochastische invariante Mannigfaltigkeiten für stochastische Modelle vom Kuramoto-Typ untersuchen. Diese Modelle sind Teilchensysteme, die in allen Wissenschaftsbereichen auftreten und ihren Ursprung in der statistischen Nichtgleichgewichtsphysik haben. Zum Beispiel entstehen natürlicherweise Kuramoto-artige Modelle im Prozess der Phasenreduktion für gekoppelte Oszillatoren. Insbesondere werden wir stabile, instabile und Zentrums-Mannigfaltigkeiten untersuchen. Ausgehend von der Analyse der Spektrallücke des Systems und deren parametrischer Abhängigkeit betrachten wir die Auswirkungen von Verzögerungskopplung und nicht-Markov’schen Rauschstrukturen. Um effiziente praktische Mannigfaltigkeitsdarstellungen bereitzustellen, werden wir analytische Näherungsverfahren über Reihen- und Vorwärts-Rückwärts-Schemata entwickeln. Schließlich werden wir auch erste Schritte in Richtung (singulärer) Grenzwerte der endlich- bis unendlich-dimensionalen stochastischen Systeme für stochastische Kuramoto-Modelle untersuchen, einschließlich des mean-field limits für unendliche Teilchenzahl, schnell-langsam Grenzwerte, Grenzwerte für komplexe Kopplungstopologien und für degeneriertes Rauschen. Zusammenfassend zielt unser Projekt darauf ab, mehr technische Werkzeuge und eine viel kohärentere Sicht auf die stochastische Phasenraumgeometrie bereitzustellen, die durch Teilchensysteme in der statistischen Physik induziert wird.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen