Modellierung schneller chaotischer Freiheitsgrade durch stochastische Prozesse
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Hauptgegenstand des Projektes sind Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden, die eine ausgeprägte Zeitskalentrennung aufweisen. Wir untersuchen eine Reihe von Techniken, mit denen die fluktuierenden Terme eines chaotischen Subsystems durch geeignete stochastische Prozesse modelliert bzw. simuliert werden können. Unter Zuhilfenahme verschiedener Eliminationsverfahren und Projektoren erzielen wir Fokker-Planck-Gleichungen als näherungsweise effektive Bewegungsgleichungen der langsamen Komponenten im System. Dieser Ansatz kann auf chaotische Hamiltonische dynamische Systeme erfolgreich angewendet werden. Diese zeigen ein charakteristisches Verhalten welches in der Nichtgleichgewichts-Physik häufig Beachtung findet, auch wenn das gesamte dynamische System nur wenige Freiheitsgrade aufweist und somit der thermodynamischer Limes keine Rolle spielt. Unter Vorliegen schneller chaotischer Freiheitsgrade können diese als geeignete stochastische Kräfte interpretiert bzw. modelliert und mit Hilfe einer Fokker–Planck–Gleichung adäquat beschrieben werden. Bei geeigneter Kopplung genügt das System einer Fluktuations-Dissipations-Relation aus der Parameter für das effektive stochastische Modelle gewonnen werden können. Der Ansatz lässt sich ebenfalls auf zeitdiskrete Systeme übertragen. Dies wird anhand des Modellproblems eines bouncing-ball Billards verifiziert und mit Hilfe numerischer Untersuchungen von Transporteigenschaften des Systems demonstriert. Einzelne Schwerpunkte des Projektes sind die Güte, Effizienz und numerische Implementierbarkeit unserer Approximationen. Eine Dimensions- und Entropieanalyse zeigt, daß niedrigdimensionales chaotisches Verhalten durch geeignete Rauschprozesse modelliert werden kann. Hierbei liefert beispielsweise das Skalierungsverhalten von Blockentropien bei endlicher räumlicher Partitionierung des Phasenraumes Aufschlüsse über die stochastische oder deterministische Natur eines Prozesses.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- The Lyapunov spectrum of some parabolic systems. Ergodic Theory Dynam. Systems
K. Gelfert and M. Rams
(Siehe online unter https://doi.org/10.1017/S0143385708080462) - Transformation of dynamical quantities under smooth time reparameterization: Chaos theory for relativistic dynamics
K. Gelfert and A. Motter
- Elimination of fast chaotic degrees of freedom: On the accuracy of the Born approximation. J. Stat. Phys. 112 (2003), 277–292
W. Just, K. Gelfert, N. Baba, A. Riegert und H. Kantz
- Fast chaos versus white noise – entropy analysis and Fokker Planck model for the slow dynamics. Physica D 187 (2004), 200-213
H. Kantz, W. Just, N. Baba, K. Gelfert, and A. Riegert
- Elimination schneller chaotischer Freiheitsgrade in Hamiltonschen Systemen. Bergische Universität Wuppertal, 2005
N. Baba
- Hamiltonian chaos acts like a ?nite energy reservoir: Accuracy of the Fokker-Planck approximation. Phys. Rev. Lett. 94 (2005), 054103
A. Riegert, N. Baba, K. Gelfert, W. Just, and H. Kantz
- Accuracy and efficiency of reduced stochastic models for chaotic Hamiltonian systems with time scale separation. Phys. Rev. E 73 (2006), 066228
N. Baba, W. Just, H. Kantz, and A. Riegert
- Dynamical quantities and their numerical analysis by saddle periodic orbits. Physica D: Nonlinear Phenomena 232 (2007) 166–172
K. Gelfert and H. Kantz
- Fast Hamiltonian chaos: Heat bath without thermodynamic limit. Phys. Rev. E (2007)
A. Riegert, W. Just, N. Baba, and H. Kantz
- Vertical chaos and horizontal diffusion in the bouncing-ball billiard. Phys. Rev. E. 75 (2007), 046214
A. de Wijn and H. Kantz
- Analysis of complex time series data in the spirit of Mori–Zwanzig. Phys. Rev. E 77 (2008), 011117
M. Niemann, T. Laubrich, E. Olbrich, and H. Kantz
- Topological pressure via periodic points. Trans. Amer. Math. Soc. 360 (2008), 545–561
K. Gelfert and C. Wolf
