Nichtlineare Wellen und Musterbildung in advektiven Systemen

• Antragsteller: Dr. Bastian Hilder
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 543917644

Ziel dieses Projekts ist die Untersuchung der Dynamik nichtlinearer Wellen in musterbildenden Systemen mit Advektion. Diese Klasse von Systemen hat viele wichtige Anwendungen in der Biologie und der Hydrodynamik, wo Advektionseffekte als wichtiger Antriebsfaktor identifiziert worden sind. Beispiele hierfür sind chemomechanische Effekte in aktiven Flüssigkeiten und der Übergang zur Turbulenz in Scherströmungen. In den letzten Jahren wurden viele Minimalmodelle vorgeschlagen, um die Dynamik dieser komplexen Systeme zu verstehen. Diese Modelle können mit Hilfe numerischer Methoden anhand experimenteller Beobachtungen validiert werden. Eine besonders wichtige Klasse solcher Modelle sind Reaktions-Diffusions-Advektions-Systeme, die in letzter Zeit in der mathematischen Forschung viel Aufmerksamkeit erhalten haben. Die Dynamik dieser Minimalmodelle kann äußerst komplex und analytisch schwer zu verstehen sein. In Anwendungen kommt es jedoch häufig vor, dass das physikalische System eine Multiskalenstruktur aufweist, die sich in dem Minimalmodell widerspiegelt. In diesem Projekt sind wir daran interessiert, nichtlineare Wellen und Muster in diesen Modellen zu verstehen, indem wir ihre Multiskalenstruktur ausnutzen. Insbesondere sind wir interessiert an: (1) modulierten Mustern, die durch eine langsame räumliche Änderung der Parameter ausgelöst werden, (2) Dynamik in der Nähe einer resonanten Instabilität, (3) zeitperiodische Muster, die sich aus einer oszillierenden Langwelleninstabilität ergeben, und (4) die Identifizierung von Strukturen, bei denen die numerisch validierten Minimalmodelle formal aus einem physikalischen Modell hergeleitet werden können. Der gemeinsame mathematische Kern dieser Probleme ist die Notwendigkeit, die Dynamik eines unendlich-dimensionalen Problems mit einer Multiskalenstruktur zu verstehen. Die Methodik basiert auf etablierten mathematischen Techniken für die Behandlung von Multiskalenproblemen, wie zum Beispiel Zentrumsmannigfaltigkeiten, Modulationsgleichungen und geometrische Störungstheorie. Anwendungen, bei denen strukturelle Eigenschaften des Problems gebrochen oder verallgemeinert sind, erfordern jedoch in der Regel mathematische Methoden, die über den Stand der Technik hinausgehen. Dies gilt insbesondere für Anwendungen mit advektiven Effekten, Multiskalendynamik mit langsam driftenden Parametern und unendlich-dimensionalen schnell-langsam Strukturen, die im Mittelpunkt dieses Projekts stehen. Wir werden neue Techniken für diese Probleme entwickeln und bestehende erweitern und damit einen wichtigen Beitrag zur Entwicklung einer umfassenden mathematischen Theorie für unendlich-dimensionale Multiskalensysteme leisten.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle