Mehrdimensionale Ruintheorie: Modellierung, Algorithmik und Analyse
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Risikotheorie, ein zentraler Teil der Versicherungsmathematik, liefert stochastische Modelle für die Kapitalentwicklung einer Versicherungsgesellschaft. Von besonderem Interesse sind die zugehörigen Ruinwahrscheinlichkeiten, die im eindimensionalen Fall intensiv untersucht wurden. Sie können als Maß für die Solvabilität eines Unternehmens dienen. In dem durchgeführten Projekt geht es um die Modellierung mehrdimensionaler Prozesse, die beispielsweise bei der simultanen Betrachtung mehrerer Versicherungsgesellschaften oder bei der Betrachtung verschiedener Sparten einer Gesellschaft auftreten. Diese Prozesse sind typischerweise stochastisch abhängig. Im Rahmen dieses Projektes wurden zwei mehrdimensionale Risikoprozessklassen eingeführt: TaS-Modelle ("Thinning-and-Shift=TaS") bei denen die auslösenden Ereignisse der Schäden modelliert werden und Modelle basierend auf mehrdimensionalen Geburtsprozessen. In der letzten Klasse können durch Abhängigkeiten extrem gefährliche Situationen auftreten, in denen das klassische Erwartungswertprinzip zur Prämienbestimmung versagt. Das asymptotische Verhalten der Ruinwahrscheinlichkeit wurde hier untersucht. Weitere wesentliche Ergebnisse wurden bei der Charakterisierung der Abhängigkeitsstruktur von mehrdimensionalen Levy Prozessen über die Levy Copula sowie bei Vergleichen der Abhängigkeitsstruktur erzielt. Überraschend stellte sich heraus, dass bei Levy Prozessen die AbhängigkeitsbegrifFe Assoziiertheit, Positive Quadrant- Abhängigkeit und Positive Supermodularität übereinstimmen und dass Abhängigkeiten wie mehrdimensionale Totale Positivität der Ordnung 2 und Bedingt wachsend in Reihe nicht durch Levy Copulae charakterisiert werden können. Ein Vergleich der Abhängigkeitsstruktur zweier Modell (z.B. über die supermodulare Ordnung) kann verwendet werden um Ungleichungen bzw. Abschätzungen für Ruinwahrscheinlichkeiten zu bekommen oder für die entsprechenden Luridberg-Koeffizienten, die den asymptotischen Abfall der Ruinwahrscheinlichkeiten beschreiben. Schließlich wurde noch in einem allgemeinen, mehrdimensionalen, zeitdiskreten Modell, bei dem noch eine Rückversicherungsstrategie angenommen wird und eine Anlageentscheidung auf dem Finanzmarkt möglich ist> ein Algorithmus zur Bestimmung der Ruinwahrscheinlichkeit angegeben. Dabei wird Ruin ganz allgemein als der Ersteintritt in eine bestimmte Menge definiert.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Bäuerle, N. und Grübel, R. (2005) Multivariate counting processes: copulas and beyond. ASTIN BuUetw£5(2), 379-408.
- Bäuerle, N., Blatter, A. und Müller, A. (2008) Dependence Properties and Comparison Results for Levy Processes. Mathematical Methods of Operations Kesearch, 67(1), 161-186.
