Theorie, Numerik und Sensitivitätsanalyse für optimale Steuerprozesse mit linear eingehender Steuerung
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Gegenstand des Projektes waren optimale Steuerprozesse, bei denen die Steuervariable linear auftritt. Optimale Steuerungen sind dann im Allg. unstetig und bestehen aus bang-bang und singulären Teilstücken. Im Themenbereich (A) wird die Dynamik eines Systems durch Gewöhnliche Differenziagleichungen beschrieben, während im Themenbereich (B) Partielle Differenzialgleichungen vorn elliptischen und parabolischen Typ untersucht werden. Im folgenden beschreiben wir die Hauptergebnisse in der Theorie, Numerik und den Anwendungen. Themenbereich (A): Gewöhnliche Differenzialgleichungen. Theorie. Für bang-bang Steuerungen konnten hinreichende Bedingungen 2. Ordnung (SSC) in sehr allgemeiner Form bewiesen werden. Grundlegened dabei ist der Ansatz, das bangbang Steuerungsproblem in ein Problem der direkten Schaltpunktoptimierung (Induziertes Optimierungsproblem) zu überführen. Es genügt dann, (SSC) für das induzierte Problem und die strikte bang-bang Eigenschaft der Schaltfunktion nachzuweisen. Wie in der finiten Optimierung sichern die (SSC) die Lösungsdifferenzierbarkeit bei Parameteränderungen und erlauben die Anwendung von Methoden der Echtzeit-Optimierung. Es gelang jedoch nicht, ein entsprechendes theoretisches Resultat für bang-singuläre Steuerungen zu beweisen. Bis heute ist dies ein offenes Problem in der Literatur. Numerik. Die Struktur von bang-singulären Steuerungen und die ungefähre Lage der Schaltpunkte kann mit Diskretisierungs und Optimierungsmethoden bestimmt werden. Zur genauen Berechnung der Schaltpunkte zwischen bang-bang und singulären Steuerungen haben wir die Arc-Parametrization-Methode effizient implementiert. Diese Methode ermöglicht die numerische Verifikation der theoretisch hergeleiteten (SSC) für bang-bang Steuerungen. Bei singulären Steuerungen konnten (SSC) zumindest für das induzierte Optimierungsproblem nachgeprüft werden. Damit lassen sich sowohl bei bang-bang als auch singulären Steuerungen die Sensitivitätsableitungen der parametrischen Lösungen berechnen. Die numerischen Methoden konnten auch auf Optimale Multiprozesse erweitert werden. Anwendungen. Eine Vielzahl praktischer Anwendungen wurde in verschiedenen Gebieten ausgearbeitet: Mechatronik (Servoaktuatoren), Physik (Laser), Ökonomie (Produktion und Instandhaltung), Biomedizin (Anti-Angiogenese, Chemotherapie, Immunreaktion). Themenbereich (B): Partielle Differenzialgleichungen. Untersucht wurden elliptische und parabolische Gleichungen mit verteilten Steuerungen und Randsteuerungen. Theorie. Notwendige Optimalitätsbedingungen konnten für alle Typen von Steuerungen mit dem LAGRANGE-Prinzip hergeleitet werden. Wie im Themenbereich (A) sind bang-bang bzw. singulare Steuerungen durch das Vorzeichen einer Schaltfunktion gekennzeichnet. Bei verteilten Steuerungen gelang es, eine Feed back-Formel für die singulare Steuerung herzuleiten. Numerik. Durch geeignete Diskretisierungen (Mehr-Punkte-Stern bei elliptischen Gleichungen und Crank-Nicolson-Schema bei parabolischen Gleichungen) wurde das Steuerungsproblem in ein hoch-dim. Optimierungsproblem überführt, für das der Solver IPOPT effizient eingesetzt wurde. Die LAGRANGE-Multiplikatoren des diskretisierten Problems wurden mit den diskreten adjungierten Variablen identifiziert. Die numerischen Resultate zeigen, dass der bei Tracking-Funktionalen meist eingeführte quadratische Penalty für die Steuerung entbehrlich ist. Beispiele und Anwendungen. Eine im Projekt entstandene Dissertation bietet erstmalig eine Fülle von Beispielen zu bang-bang und singulären Steuerungen. In allen Beispielen wurden auch die adjungierten Funktionen berechnet, die ein hochgenaues Nachprüfen der notwendigen Bedingungen ermöglichen. Neben einer Reihe von Modellproblemen wurden die folgenden Anwendungen betrachtet: Ginzburg-Landau-Modell der Supraleitung (stationär und zeitabhängig); optimale Steuerung von Reaktions-Diffusions-Systemen in der Gasentladung und bei der Musterbildung von Säugetieren; instantane Kontrolle in einem Solitonenmodell und beim Abrasiv-Wasserstrahlschneiden.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
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Optimization methods for the verification of second-order sufficient conditions for bang-bang controls. Optimal Control Methods and Applications 26, 129-156 (2005)
H. Maurer, C. Büskens, J.-H. R. Kim, Y. Kaya
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Equivalence of second order optimality conditions for bang-bang control problems. Part 1: Main result, Control and Cybernetics, 34, pp. 927-950, 2005; Part 2: Proof, variational derivatives and representations., Control and Cybernetics 36, pp. 5-45 (2007)
N. P. Osmolovskii and H. Maurer
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Optimal control of a voice-coil motor with Coulombic friction. Proceedings of the 47th Conference on Decision and Control (CDC), Cancun, Mexico, pp. 1557-1562, December 2008
B. Christiansen, H. Maurer, O. Zirn
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On optimal delivery of combination therapy for tumors. Mathematical Biosciences 22, pp. 13-26 (2009)
U. Ledzewicz, H. Maurer, H. Schättler
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Second order sufficient optimality conditions for a control problem with continuous and bang-bang control components: Riccati approach. Proceedings of the 23rd IFIP Conference on System Modeling and Optimization, Cracow, Poland (A. Korytowski, M. Szymkat, eds.), pp. 411-429, Springer, Berlin, 2009
N. P. Osmolovskii and H. Maurer
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Sufficient conditions and sensitivity analysis for bang-bang control problems with state constraints. Proceedings of the 23rd IFIP Conference on System Modeling and Optimization 2007, Cracow, Poland (A. Korytowski, M. Szymkat, eds.), pp. 82-99, Springer, Berlin, 2009
H. Maurer, G. Vossen
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Optimal control of machine tool manipulators. In: Recent Advances in Optimization and Its Applications in Engineering: The 14th Belgian-French-German Conference on Optimization, Leuven, September 2009 (M. Diehl, F. Glineur, E. Jarlebring, W. Michels, eds.), pp. 451-460, Springer, Berlin, 2010
B. Christiansen, H. Maurer, O. Zirn
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Optimal and suboptimal protocols for a mathematical model for tumor anti-angiogenesis in combination with chemotherapy. Mathematical Biosciences and Engineering 8, pp. 307-328 (2011)
U. Ledzewicz, H. Maurer, H. Schättler
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Optimal control of servo actuators with flexible load and Coulombic friction. European Journal of Control 17, 1-11 (2011)
B. Christiansen, H. Maurer, O. Zirn
