Nichtkommutative Differentialgeometrie und Integration auf Quantenräumen

• Antragsteller: Dr. Elmar Wagner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2005 bis 2007
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5448091

Ziel des Projektes ist es, Verbindungen zwischen der Nichtkommutativen Geometrie und der Theorie der Quantengruppen zu studieren. Es handelt sich dabei um zwei moderne und sich schnell entwickelnde mathematische Gebiete mit vielfältigen Beziehungen zu anderen mathematischen Disziplinen und verschiedenen Anwendungen in der Physik. Obwohl diese Theorien unabhängig voneinander entwickelt wurden, liegt beiden dieselbe fundamentale Idee zugrunde: Nichtkommutative Räume werden durch eine nichtkommutative Funktionenalgebra beschrieben. Von grundlegender Bedeutung in der Nichtkommutativen Geometrie ist der Begriff des Spektraltripels. Es besteht aus einer Algebra beschränkter Operatoren auf einem Hilbertraum und einem selbstadjungierten Operator, dem Diracoperator, welcher beschränkte Kommutatoren mit den Elementen aus der Algebra besitzt. Aus den Eigenschaften des Diracoperators erhält man wichtige geometrische Informationen über den nichtkommutativen Raum. Ausgangspunkt des Forschungsprojekts ist die Konstruktion und das Studium von Spektraltripeln auf Quantenräumen. Es wird beabsichtigt, auch Diracoperatoren zu betrachten, die unbeschränkte Kommutatoren mit Elementen der Koordinatenalgebra besitzen. Insbesondere soll eine Beziehung von äquivarianten Diracoperatoren zu kovarianten Differentialkalkülen und zur invarianten Integration auf Quantenräumen hergestellt werden. Wichtige Ziele sind das Studium von spektralen und K-homologischen Eigenschaften von Diracoperatoren, die Ausarbeitung eines lokalen Indextheorems und Anwendungen in physikalischen Modellen.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Italien
• Kooperationspartner: Professor Dr. Giovanni Landi