Herleitung und Analysis von effektiven Modellen für Suspensionen

• Antragsteller: Dr. Dimitri Cobb; Professor Dr. Richard Höfer; Dr. Richard Schubert
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 545373458

Suspensionen bestehen aus einer Mischung von vielen kleinen Teilchen mit einem umgebenden Fluid, also einer Flüssigkeit oder einem Gas. Sie sind in der Natur allgegenwärtig, zum Beispiel als Staub, Sand oder Blut. Anwendungsgebiete reichen von der Lebensmittelindustrie und Anstrichfarben über Zentrifugen bis in die Medizin- und Umwelttechnik. Suspensionen zeigen komplexe Eigenschaften, die es zu verstehen gilt, um ihr Verhalten maßzuschneidern. Typische Phänomene sind Teilchensedimentation, Erhöhung der Viskosität des Fluids, kollektive Reibungskräfte und sogar viskoelastisches Verhalten. Welche dieser makroskopischen Effekte sichtbar sind und in welchem Ausmaß, hängt stark von den genauen Eigenschaften der Teilchen ab, etwa deren Anzahl, Größe und Form. Aufgrund der großen Zahl von Teilchen sowie der unterschiedlichen inhärenten Zeit- und Längenskalen sind Suspensionen nur schwer zugänglich für Experimente und numerische Simulationen. Umso bedeutender ist die mathematische Analyse für ein grundlegendes Verständnis. Auf mikroskopischer Ebene lassen sich Suspensionen durch Gleichungen für jedes einzelne Teilchen beschreiben, die an eine Gleichung für das Fluid gekoppelt sind. Diese Kopplung ist beidseitig, da sowohl das Fluid die Teilchen beeinflusst als auch umgekehrt. Daher interagieren die Teilchen mittels des Fluids untereinander in einer sehr komplexen Weise. Für Anwendungen sind nicht die einzelnen Teilchentrajektorien, sondern vielmehr effektive makroskopische und mesoskopische Größen relevant, wie die mittlere Teilchendichte und das mittlere Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit. Das Ziel unserer Forschung ist daher die mathematisch rigorose Herleitung und Analyse von effektiven Gleichungen für Suspensionen ausgehend von zugrunde liegenden mikroskopischen Modellen. Dabei verfolgen wir einen dreistufigen mathematischen Ansatz. Im ersten Schritt vernachlässigen wir die Teilchenbewegung und leiten nur effektive Gleichungen für das Fluid her. Erst im zweiten Schritt beziehen wir die Teilchenbewegung mit ein um vollständig gekoppelte Systeme abzuleiten. Im dritten Schritt schließlich analysieren wir die hergeleiteten effektiven Modelle zum Beispiel hinsichtlich Existenz, Eindeutigkeit, und Langzeitverhalten von Lösungen. Durch die implizite, singuläre und großskalige Interaktion der Teilchen ist dieses Forschungsgebiet mathematisch sehr interessant und herausfordernd. Eine Kombination von Techniken aus der mathematischen Strömungsmechanik, Homogenisierung, optimalem Transport und kinetischer Theorie hat in den letzten Jahren zu einem ungemeinen Fortschritt auf diesem Gebiet geführt. Dieses Projekt bringt Experten aus Frankreich und Deutschland zusammen um diesen Fortschritt weiter anzukurbeln und auf diese Weise lange bestehende Modelle rigoros herzuleiten und neue Phänomene zu entdecken.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Partnerorganisation: Agence Nationale de la Recherche / The French National Research Agency
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professor Dr. David Gérard-Varet; Dr. Amina Mecherbet; Professor Dr. Franck Sueur