Die AKE Philosophie: Von arithmetischer Geometrie bis zur Klassifikationstheorie

• Antragstellerin: Professorin Dr. Franziska Jahnke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 545528554

Unser Ziel ist neue Methoden in der Modelltheorie henselsch bewerteter Körper zu entwickeln, um Fragen sowohl aus der Klassifikationstheorie als auch der arithmetischen Geometrie zu beantworten. Die Leitphilosphie, die alle diese Anwendungen verbindet, ist die entscheidende Rolle von Ax-Kochen-Ershov Prinzipien. Wir planen algebraische Techniken (insbesondere galois-theoretische und topologische Aspekte) mit modelltheoretischen Zutaten (Einbettungslemmata und nicht-Standard-Modelle) zu kombieren. Wir haben je zwei Hauptziele zur Klassifikationstheorie und arithmetische Geometrie, aber es gibt großes Potenzial für Erweiterungen der Forschungshorizonts im Laufe der Zeit. In unserer Arbeit zur Klassifikationstheorie stemmt die Motivation in erster Linie von der Shelah Vermutung, die vorhersagt, dass jeder unendliche NIP Körper bereits separabel abgeschlossen oder reell abgeschlossen ist oder eine nicht triviale henselsche Bewertung trägt. Der endlich-dimensionale Fall dieser Vermutung wurde in einer Reihe von spektakulären Preprints von Johnson im Jahr 2020 gelöst, wobei er eine Fülle von Maschinerie entwickelte. Indem wir diese nun mit unseren neuen Ansätzen kombinieren, beabsichtigen wir die Henselitätsvermutung in Charakteristik 0 zu zeigen und eine Charakterisierung inp-minimaler Körper zu entwickeln. Auf der arithmetisch-geometrischen Seite planen wir (existenzielle) Theorien von henselsch bewerteten Körpern positiver Charakteristik zu axiomatisieren, was die Grenze unseres Wissens sowohl für vollkommene als auch für unvollkommene Körper verschöbe. Zudem haben wir vor, eine relative Version von Hilberts 10tem Problem in henselsch bewerteten Körpern gemischter Charakteristik zu zeigen. In einem fünftem Ziel planen wir unsere Expertise zu verbreitern und unsere jüngst bewiesene Verallgemeinerung des berühmten Satzes von Ax-Kochen-Ershov zu nutzen, um motivische Integration in vollständigen diskret bewerteten Körpern gemischter Charakteristik mit unvollkommenen Restklassenkörper zu ermöglichen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Partnerorganisation: Agence Nationale de la Recherche / The French National Research Agency
• Kooperationspartnerin: Dr. Sylvy Anscombe