Classical and quantum energy-transport models for semiconductors: modeling, analysis and numerical approximation

• Antragsteller: Professor Dr. René Pinnau
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2007 bis 2010
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 54555543

• Erstellungsjahr: 2012

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Aufgrund der fortschreitenden Miniaturisierung von Halbleiterbauelementen müssen die herkömmlichen klassischen Halbleitermodelle weiterentwickelt werden, da Temperatur- und Quanteneffekte immer wichtiger werden. Dieses Projekt zielte darauf ab, das mathematische Verständnis thermischer und quantenmechanischer Effekte in Halbleitern zu erweitern. Diese Effekte können zwar prinzipiell mittels der semiklassischen Boltzmann-Transportgleichung oder der quantenmechanischen Wigner-Gleichung beschrieben werden. Die numerische Lösung dieser Gleichungen ist jedoch viel zu aufwendig, und approximative Modelle sind gefragt. Die Hauptziele dieses Projekts waren die Untersuchung des Einflusses der Elektronentemperatur auf die Stromdichte, der Erhitzung des Halbleiters und des Zusammenspiels von thermischen und quantenmechanischen Effekten. Insbesondere analysierten wir mathematisch und numerische klassische und quantenmechanische Energie-Transport Modelle. Wir konnten die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für eine Reihe von stationären und transienten Modellen nachweisen. Wesentliche Fortschritte konnten bei der Herleitung von physikalisch sinnvollen Schranken für die Temperatur und die Elektronendichte erzielt werden. Ausserdem untersuchten wir das asymptotische Verhalten der Modelle und ihre Stabilitätseigenschaften. Ferner wurden numerische Diskretisierungen und iterative Verfahren zur Lösung der nichtlinearen Systeme hergeleitet und analysiert. Letztlich wurden ultra-kleine Feldeffekt-Transistoren (MOSFET, HEMT) simuliert und der Einfluss von thermischen und quantenmechanischen Effekten systematisch untersucht.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Global weak solutions to compressible Navier-Stokes equations for quantum fluids. SIAM J. Math. Anal. 42:1025-1045 (2010)
  A. Jüngel
  
• Matrix compression for spherical harmonics expansions of the Boltzmann transport equation for semiconductors. J. Comput Phys. 229: 8750- 8765 (2010)
  K. Rupp, A. Jüngel, and T. Grasser
  
• Analysis of a bipolar energy-transport model for a metaloxide-semiconductor diode. JMAA 378(2):764-774 (2011)
  A. Jüngel, R. Pinnau, E. Röhrig