Graduierte Geometrie, Gravitation und Tensorfelder

• Antragsteller: Professor Dr. Peter Schupp
• Fachliche Zuordnung: Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder ; Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 545733782

Das Forschungsprojekt entwickelt einen vereinheitlichten mathematischen Rahmen für klassische Eich- und Gravitationstheorien auf Grundlage von gemischt-symmetrischen Tensoren und deren Beschreibung durch graduierte Geometrie mit konkreten Anwendungen. Eich- und Gravitationsfeldtheorien beschreiben alle fundamentalen Wechselwirkungen. Trotz ihrer tiefgreifenden Unterschiede im Quantenbereich können beide als Spezialfälle von gemischt-symmetrischen Tensor-Feldtheorien betrachtet werden. Die Unzulänglichkeit herkömmlicher Differentialgeometrie mit Differentialformen erfordert in diesem Zusammenhang eine graduierte Erweiterung. In vorangegangenen Arbeiten haben wir einen geeigneten Formalismus für gemischt-symmetrische Tensoren in graduierter Geometrie entwickelt, wobei Raumzeit zu einer graduierten Mannigfaltigkeit mit bosonischen und fermionischen Koordinaten erweitert wird. Graduierte Geometrie ermöglicht eine neue Methode der Konstruktion von Wirkungsfunktionen für gemischt-symmetrische Tensoren, die eine einheitliche Beschreibung erlaubt. Die bekannten Ergebnisse von Lovelock und Horndeski für die allgemeinst-möglichen Gravitationstheorien werden dabei zu einem einfachen Spezialfall. Im vollständig nichtlinearen Fall gibt es allerdings noch einige ungelöste Fragen, die auch im Rahmen des Projekts adressiert werden sollen. Ein Focus des Projekts sind auch Dualitäten in Eich- und Gravitationstheorien, welche insbesondere im Kontext der Quantentheorie wichtig sind. Die Ziele des Forschungsvorhabens umfassen die Untersuchung nichttrivialer exotischer Dualitäten, die Erforschung von Dualitäten und globalen Symmetrien in nichtlinearen Gravitationstheorien, die Entwicklung eines graduierten Stokes-Theorems für gemischt-symmetrische Tensoren und die Untersuchung eines gravitativen θ-Terms und seiner Implikationen. In diesem Kontext planen wir, die Verbindung zwischen globaler Translationssymmetrie und dem Goldstone-Theorem im Kontext der graduierten Geometrie zu untersuchen, Ergebnisse auf gemischt-symmetrische Tensorfelder wie das Graviton zu übertragen und zu prüfen, ob das Graviton ein Nambu-Goldstone-Boson für eine spontan gebrochene globale Translationssymmetrie sein kann. Der graduierte Ansatz führt auch auf natürliche Weise zu gravitativen θ-Termen mit beobachtbaren Vorhersagen, die in naher Zukunft überprüft werden können. Hier planen wir, unsere Ergebnisse auf nichtlineare Gravitation durch Kopplung der Nieh-Yan-Invariante an die Einstein-Cartan-Theorie zu erweitern, gravitative Feldgleichungen mithilfe von Computersoftware zu lösen, und Materiequellen und ihre Wechselwirkung mit dem skalaren θ-Feld zu untersuchen. Aktuelle Vorhersagen für Satelliten- und Gravitationswellenexperimente sind das Ziel. Das Forschungsvorhaben schließt entscheidende Lücken im Verständnis von gemischt-symmetrischen Tensorfeldern und trägt zur Weiterentwicklung der theoretischen Physik, insbesondere in den Bereichen Eich- und Gravitationsfeldtheorien, bei.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen