Steiner-Bündel auf Graßmann-Varietäten und Darstellungen wilder Kronecker-Algebren

• Antragsteller: Dr. Daniel Bissinger
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 548677842

Es seien r > 2 und d < r natürliche Zahlen, sowie k ein algebraisch abgeschlossener Körper beliebiger Charakteristik. Das Hauptziel dieses Projektes ist es, den Zusammenhang zwischen Steiner-Bündeln auf der Graßmann-Varietät Gr_d(k^r) und endlich dimensionalen r-Kronecker Darstellungen genauer zu untersuchen. Erste Betrachtungen von Kronecker-Darstellungen als Hilfsmittel zum Studium von Vektorbündeln finden sich in Arbeiten von Hulek (1981) und Drézet-Le Potier (1985) für den Spezialfall des vollen projektiven Raums über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein funktorieller Zusammenhang zwischen gewissen Bündeln glatter, projektiver Varietäten und abstrakt beschriebenen vollen Unterkategorien von Kronecker-Darstellungen geht auf Jardim und Prata (in Charakteristik 0) zurück. Der Antragsteller hat zusammen mit Rolf Farnsteiner den Ansatz von Jardim und Prata für die Graßmann-Varietät vertieft und die Äquivalenz der Kategorie der Steiner-Bündel auf Gr_d(k^r) und einer vollen Unterkategorie von Kronecker-Darstellungen für Körper beliebiger Charakteristik bewiesen. Dadurch ergeben sich Anwendungen bezüglich der Zusammenhänge zwischen Darstellungen endlicher Gruppenschemata und Vektorbündeln à la Carlson, Friedlander, Pevtsova, Suslin. Weiter wurden die zu Steiner-Bündeln korrespondierenden Kronecker-Darstellungen als Kategorie relativ projektiver Darstellungen identifiziert. Diese neue Beschreibung ermöglicht die gezielte Untersuchung der Kategorie der Steiner-Bündel mit kombinatorischen Methoden der modernen Darstellungstheorie. Unter anderem wird so bewiesen, dass die Kategorie der relativ projektiven Darstellungen unter der inversen Auslander-Reiten-Translation, Unterdarstellungen und Erweiterungen abgeschlossen ist. Als eine Konsequenz können Steiner-Bündel in einem gerichteten Graphen (Translationsköcher) angeordnet werden, in dem jeder Knoten einen Nachfolger besitzt und genau ein Knoten in jeder Zusammenhangskomponente keinen Vorgänger hat, also eine Wurzel ist. Im Projekt soll unter anderem diese neue kombinatorische Darstellung der Kategorie der Steiner-Bündel und die Kategorie der relativ projektiven Darstellungen mit Methoden der Darstellungstheorie, der algebraischen Geometrie und der algebraischen Gruppen untersucht werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Rolf Farnsteiner