Liegruppenwirkungen mit polytopalem Orbitraum

• Antragsteller: Professor Dr. Oliver Goertsches
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 549576812

Dieses Projekt geht auf die Beobachtung zurück, dass die Klassen kompakter Mannigfaltigkeiten mit Liegruppenwirkung 1. Torische symplektische Mannigfaltigkeiten / Quasitorische Mannigfaltigkeiten 2. Multiplizitätsfreie Hamiltonsche Wirkungen 3. Wirkungen von Kohomogenität 1 mit einem nichtregulären Orbit 4. Hyperpolare Wirkungen auf einfach-zusammenhängenden symmetrischen Räumen ähnliche Eigenschaften besitzen: a) Ihr Orbitraum ist homöomorph zu einem Polytop. b) Sie sind durch die Kombinatorik des Orbitraums bestimmt oder sogar daraus rekonstruierbar, wenn er mit geeigneten (Isotropie-)Daten beschriftet wird. c) Ihre äquivariante Kohomologie (über den rationalen bzw. reellen Zahlen) ist berechenbar und algebraisch so einfach wie möglich: sie ist ein Cohen-Macaulay-Modul; insbesondere, wenn die betreffende Wirkung eine Isotropiegruppe maximalen Ranges hat, dann ist sie ein freier Modul. Wir werden beliebige Wirkungen kompakter Liegruppen auf glatten Mannigfaltigkeiten untersuchen, deren Orbitraum homöomorph zu einem Polytop ist, so dass die Orbittyp-Straten den Seiten des Polytops entsprechen - wir sprechen von Wirkungen mit polytopalem Orbitraum. Die leitende Frage ist, inwieweit die topologische Theorie der quasitorischen Mannigfaltigkeiten auf Wirkungen nicht-abelscher Gruppen verallgemeinert werden kann, ähnlich wie torische symplektische Geometrie die Theorie der multiplizitätsfreien Hamiltonschen Wirkungen als natürliches nicht-abelsches Analogon besitzt. Zu diesem Zweck verfolgen wir mehrere topologische und geometrische Ziele. Wir wollen verstehen, inwieweit Wirkungen mit polytopalem Orbitraum durch die Kombinatorik des beschrifteten Orbitraums bestimmt sind, wir werden diese Bedingung mit der der Polarität der Wirkung in Zusammenhang bringen, sowie äquivariante und nicht-äquivariante topologische Invarianten dieser Wirkungen wie den (äquivarianten) Kohomologiering berechnen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen