Verallgemeinerte Riemannsche Gradientenverfahren für spinor Bose-Einstein-Kondensate

• Antragsteller: Professor Dr. Patrick Henning
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 551527112

Bose-Einstein-Kondensate (BECs) können als "Super-Atome" betrachtet werden, welche die faszinierende Möglichkeit bieten, die verborgene Welt der Quantenmechanik auf beobachtbaren Skalen zu erforschen. Von besonderem Interesse sind BECs mit einem Spin-Freiheitsgrad (Pseudo-Spinor- und Spinor-BECs), die es ermöglichen, Phänomene wie Quantenmagnetismus zu untersuchen. Aufgrund der hohen Komplexität der dazu notwendigen physikalischen Experimente sind numerische Simulationen von großer Bedeutung bei der Untersuchung von BECs und deren faszinierender Eigenschaften. In diesem Projekt betrachten wir die Berechnung von Grundzuständen, was die Minimierung eines Energiefunktionals auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit erfordert. Die Mannigfaltigkeit repräsentiert Nebenbedingungen für die Masse und die Magnetisierung des Kondensats. Zum numerischen Lösen des Minimierungsproblems sollen hierfür geeignete Riemannsche Gradientenverfahren entwickelt werden, welche auf einer adaptiven Wahl der Metrik auf dem Tangentialraum basieren. In dem die Metrik so gewählt wird, dass sie in geeigneter Weise vom aktuellen Energielevel der Iterierten (im Gradientenverfahren) abhängt, soll ein globaler Energieabfall garantiert werden. Eines der Hauptziele dieses Projekts ist damit eine rigorose Fehleranalyse der entwickelten Verfahren und insbesondere ein Beweis der globalen Konvergenz. Weiterhin sollen analytische Techniken entwickelt werden, welche es uns ermöglichen, das lokale Konvergenzverhalten der neuen Verfahren zu quantifizieren und zu verstehen. In diesem Sinne wollen wir auch Mechanismen aufdecken, die die Konvergenz dieser verallgemeinerten Riemannschen Gradientenverfahren behindern oder beschleunigen können. Als Eckpfeiler unserer Konvergenzanalyse werden wir Verbindungen zu nichtlinearen Eigenwertproblemen und deren Lösung durch verallgemeinerte inverse Iterationen mit Rayleigh-Shifts entwickeln und ausnutzen. Damit schlagen wir eine Brücke zwischen verschiedenen Bereichen der Numerik, sowohl für den Entwurf neuer Methoden, als auch für deren Fehleranalyse. Um die Konvergenz in einer Umgebung des Grundzustandes zu beschleunigen, werden wir schließlich auch Erweiterungen unseres Ansatzes auf Energie-adaptive konjugierte Gradienten und modifizierte Riemannsche Newton-Methoden untersuchen und analysieren. Zusammenfassend geht es in diesem Projekt darum, neue iterative Methoden zur effizienten Berechnung von Grundzuständen von spinor BECs zu entwickeln und diese mathematisch bezüglich ihrer Konvergenz zu analysieren. Damit wollen wir nicht nur einen neuen Standard bei der Berechenbarkeit setzen, sondern vor allem auch die ersten analytisch-rigorosen Konvergenzresultate in diesem Setting erarbeiten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen