Strukturtheorie von Semiringen

• Antragsteller: Professor Dr. Jens Zumbrägel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 552130058

Die Beschreibung der Grundrechenarten erfolgt in der klassischen Algebra durch Begriffe wie Ring und Körper. Diese umfassen neben üblichen Zahlbereichen etwa auch das Rechnen mit Polynomen und die Modulorechnung. Gerade diese Allgemeinheit macht die Stärke der abstrakten Begriffsbildung aus und erlaubt unterschiedlichste Anwendungen in der Mathematik und der Informatik. Der Begriff Semiring verallgemeinert den eines Rings insofern, dass nur Addition und Multiplikation vorhanden sind, nicht aber Subtraktion. In der Literatur werden Semiringe zunehmend betrachtet, weil sie die Beschreibung von Strukturen erlauben, welche sich mit herkömmlichen Begriffen nicht fassen lassen. Beispiele hierfür sind mehrwertige Logiken oder max-plus-Algebren wie sie bei Optimierungsproblemen auftreten. Die Theorie der Semiringe liegt im Spannungsfeld zwischen Ringtheorie und Halbgruppentheorie. Sie ist vergleichsweise jung und weist noch viele offene Fragen auf. Eine grundlegende Charakterisierung sogenannter kongruenz-einfacher Semiringe erfolgte unter anderem vom Antragssteller in seiner Dissertation und einigen Nachfolgearbeiten. Das Augenmerk des geplanten Forschungsprojekts geht nun einen Schritt weiter. Es soll angestrebt werden, eine Strukturtheorie von Semiringen zu entwickeln, ähnlich der sehr fruchtbaren Strukturtheorie von Ringen. Der Begriff eines Moduls spielt, wie in der Ringtheorie, bei der Untersuchung von kongruenz-einfachen Semiringen eine zentrale Rolle. Um weitere Klassen von Semiringen zu untersuchen, soll entsprechend das Konzept von halbeinfachen Modulen geeignet verallgemeinert werden. Dadurch ergibt sich die Aussicht auf neue Versionen der gefeierten Struktursätze für halbeinfache Ringe. Diese Aufgabe ist anspruchsvoll, da bei Moduln über Semiringen keine Subtraktion vorhanden ist, weswegen unterschiedliche Begriffe entstehen können, welche in der klassischen Theorie zusammenfallen. Forschungen zur allgemeinen Strukturtheorie von Semiringen besitzen ein großes Potential, da überaus vielseitige Objekte durch den gleichen Begriff beschrieben werden können. Insbesondere sollen Faltungsalgebren in einem weitgefassten Sinne untersucht werden, einschließlich Matrizensemiringe und Pfadalgebren. Derartige Strukturen erscheinen zahlreich in der aktuellen Literatur und bieten ein interessantes Testfeld, um die Anwendbarkeit der entwickelten Theorie zu beurteilen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen