Duale Regularisierung und äußere Approximation von Optimalsteuerproblemen mit Steuerungen beschränkter Variation

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Meyer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 552141670

Während die Verwendung der TV-Seminorm im Kontext der Bildverarbeitung und der Regularisierung inverser Probleme mittlerweile weit verbreitet ist, wurden Optimalsteuerprobleme mit Steuerungen im Raum der Funktionen beschränkter Variation erst in jüngster Zeit intensiver erforscht. Dies betrifft sowohl theoretische Aspekte wie die Herleitung von notwendigen und hinreichenden Optimalitätsbedingungen als auch algorithmische und numerische Fragestellungen. Die bisherigen algorithmisch-numerischen Ansätze beruhen häufig auf einer Regularisierung der Steuerung und/oder einer Diskretisierung mit stetigen Ansatzfunktionen. Beide Ansätze implizieren, dass die numerischen Lösungen stetig sein müssen, obwohl gerade das Zulassen unstetiger Lösungen eine wesentliche Motivation für die Wahl des Raumes der Funktionen beschränkter Variation als Steuerungsraum darstellt. Das Ziel des Projektes ist es deshalb, ein algorithmisches Konzept zu entwickeln, welches einerseits unstetige Lösungen zulässt und andererseits eine rigorose Konvergenzanalysis im Funktionenraum ermöglicht, welche entscheidend für die Gitterunabhängigkeit des Algorithmus ist. Die grundlegende Idee des Ansatzes beruht auf einer Regularisierung der dualen Darstellung der TV-Seminorm, die zu einer Vergrößerung des Steuerungsraumes führt. Die Steuerungen werden dadurch "von außen" approximiert, so dass auch nach Regularisierung unstetige Lösungen zulässig sind. Die zweite essentielle Idee des Konzepts ist, die dual regularisierten Probleme mit einem äußeren Approximationsalgorithmus zu lösen, bei dem unzulässige Lösungen sukzessive abgeschnitten werden. Der auf diese Weise entstehende Algorithmus lässt sich im Funktionenraum formulieren und beinhaltet ausschließlich Teilprobleme, die sich mit Standard-Methoden lösen lassen. Das algorithmische Konzept wird anhand einer dreistufigen Modellhierarchie entwickelt und getestet. Diese Hierarchie umfasst als einfachstes Modell ein strikt konvexes Problem mit linearer elliptischer partieller Differentialgleichung (PDE) und quadratischer Zielfunktion, gefolgt von einem Problem mit semilinearer PDE bis hin zum dritten Modellproblem, in dem die Steuerung als Koeffizient in den Hauptteil der PDE eingeht. Die Entwicklung eines effizienten und mathematisch fundierten Algorithmus zur Lösung des dritten, komplexesten Modellproblems stellt das finale Ziel des Projekts dar.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen