Exponentialbasen mit ganzzahligen Frequenzen

• Antragsteller: Andrei Caragea, Ph.D.; Professor Götz Eduard Pfander, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 554877617

Das grundlegende Resultat der Fourier-Analyse besagt, dass die Menge der komplexen Exponentialfunktionen mit ganzzahligen Frequenzen eine orthonormale Basis für den Raum der quadratisch integrierbare Funktionen auf dem Einheitsintervall bildet, kurz gesagt, das Einheitsintervall und die ganzen Zahlen bilden ein orthonormales Spektralpaar. Die Suche nach Frequenzmengen für andere Definitionsbereiche ist ein zentrales Ziel in der angewandten Mathematik, den Ingenieur- und Naturwissenschaften. Abgesehen von trivialen Verallgemeinerungen, z. B. durch Reskalierung oder ein Tensorargument für Bereiche in höheren Dimensionen, erfordert die Aufgabe im Allgemeinen, die paarweise Orthogonalität der Basiselemente aufzugeben und daher nur Riesz-Basen oder Frames zu konstruieren. In den vergangenen zwei Jahrzehnten wurden auf diesem Gebiet wegweisende Ergebnisse erzielt. So wurde beispielsweise gezeigt, dass es für jede endliche Vereinigung von Intervallen eine Riesz-Basis von Exponentialfunktionen gibt, und es wurde eine erste Menge konstruiert, für die es keine Riesz-Spektren gibt. Darüber hinaus wurde gezeigt, dass beide Richtungen der Fuglede-Vermutung falsch sind. Die Aufgabe, orthogonale oder Riesz-Basen für einen bestimmten Definitionsbereich zu finden, wird noch schwieriger, wenn nicht aus der Menge aller Frequenzen ausgewählt werden kann. Dies kann z.B. aufgrund von Hardware-Beschränkungen in der Elektrotechnik und Telekommunikation oder aufgrund von Einschränkungen bei der Modellierung physikalischer Phänomene der Fall sein. Solche Aufgaben sind im Allgemeinen gleichbedeutend mit der Suche nach orthogonalen oder Riesz-Basen, die nur aus ganzzahligen Frequenzen für umskalierte Bereiche bestehen. Daher befasst sich dieses Projekt mit der Frage, welche Teilmengen des Einheitsintervalls bzw. von mehrdimensionalen Einheitswürfels Orthonormalbasen, Riesz-Basen oder Frames mit ausschließlich ganzzahligen Frequenzen besitzen. Im Mittelpunkt unserer Diskussion stehen sogenannte hierarchische Exponentialbasen für Partitionen des Einheitsintervalls oder des mehrdimensionalen Einheitswürfels. Das heißt, gibt es für eine Partition eines Bereichs in Teilbereiche, die durch eine Menge K indiziert sind, eine Familie von entsprechenden Frequenzmengen, so dass für jede Untermenge J von K die Vereinigung der Frequenzmengen indiziert durch J eine Riesz-Basis für die Vereinigung der entsprechenden Teilbereiche der Partition bildet. Eines der wichtigsten technischen Hilfsmittel, die wir zur Erreichung dieses Ziels entwickeln wollen, ist eine Verallgemeinerung eines klassischen Ergebnisses von Chebotarev. Dieses besagt, dass quadratische Untermatrizen von Fourier-Matrizen der Primzahlordnung immer invertierbar sind. Die Ermittlung von Analoga dieses Ergebnisses für Fourier-Matrizen mit nicht Primzahlordnung ist für sich eine interessante Herausforderung mit Anwendungen in Algebra und Zahlentheorie.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen