Geometrische Funktionalungleichungen und ihre Stabilität

• Antragsteller: Dr. Tobias König
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 555837013

Geometrische Funktionalungleichungen wie die Sobolev- oder die isoperimetrische Ungleichung sind ein zentraler Forschungsgegenstand der heutigen Analysis. Die Anwendungen solcher Ungleichungen sind entscheidend für viele angrenzende Gebiete und reichen von Konvergenzraten zu Gleichgewichtszuständen in zeitabhängigen Problemen bis zur Lösung des berühmten Yamabe-Problems in der Differentialgeometrie. In den letzten Jahren ist die quantitative Stabilität solcher Ungleichungen besonders in den Fokus gerückt. Das vorliegende Forschungsprojekt hat zum Ziel, innovative und grundlegende Beiträge zu diesem gegenwärtig sehr aktiven Gebiet zu leisten. Im Gegensatz zu vielen klassischen Ungleichungen, deren Optimierer vollständig klassifiziert sind, ist für die meisten Stabilitätsungleichungen sogar die bloße Existenz von Optimierern ein offenes Problem. Ein kürzlich erzielter Durchbruch zeigt die Existenz für die Bianchi-Egnell-Ungleichung (BE), die die Stabilität der Sobolevungleichung beschreibt. Ein Hauptziel dieses Projekts ist es, dieses grundlegende Ergebnis in zweierlei Hinsicht weitreichend auszubauen. Einerseits sollen die Existenzbedingungen für Optimierer von Stabilitätsungleichungen anhand weiterer Beispiele und Gegenbeispiele besser verstanden werden. Andererseits ist es von zentraler Wichtigkeit, die im Moment völlig unbekannten qualitativen Eigenschaften des BE-Optimierers genauer zu untersuchen. Dazu sollen Symmetrisierungsmethoden entwickelt werden, die mit dem überraschend subtilen Verhalten des BE-Funktionals verträglich sind und ein besseres Verständnis der Eigenschaften seiner Optimierer ermöglichen. Solche Ergebnisse haben besonders große Bedeutung aufgrund ihres Modellcharakters für eine große Klasse von schwieriger handhabbaren Stabilitätsungleichungen ähnlicher Struktur. Ungleichungen, die entweder Ableitungen höherer Ordnung enthalten oder für vektorwertige Funktionen gelten, sind dank zahlreicher Anwendungen und als natürliche Verallgemeinerung klassischer Fälle ein Gegenstand großen Forschungsinteresses. Für diese Probleme sind wichtige Hilfsmittel wie das Maximumsprinzip, Symmetrisierung oder Techniken für gewöhnliche Differentialgleichungen typischerweise nicht ohne Weiteres verfügbar. Das Ziel des vorliegenden Projekts ist es, anhand einiger wichtiger und repräsentativer ungelöster Fälle neue Lösungsmethoden für diese Klassen von Problemen zu erarbeiten, mit einem Schwerpunkt auf Stabilitätseigenschaften. Etwa sollen Konvergenzraten für den Q-Krümmungs-Fluss beschrieben, die singulären Lösungen der Yamabe-Gleichung klassifiziert, sowie die Stabilitäts- und Dualitätseigenschaften umgekehrter Sobolevungleichungen untersucht werden. Ein weiteres wichtiges Ziel ist es, eine Stabilitätsungleichung für eine bestimmte allgemeine Matrixungleichung zu zeigen und so einen verallgemeinerten Zugang zur Stabilität einer großen Klasse von Ungleichungen zu erhalten.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen