Perspektiven höherer Signature: Kodimension-2 Homotopieinvarianz und L2-Azyklizität

• Antragsteller: Professor Dr. Thomas Schick
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 556897787

Mannigfaltigkeiten sind fundamental Objekte der geometrischen Topologie. Zu ihrer Klassifikation und Konstruktion wurde die Chirurgietheorie entwickelt. Hierfür müssen höhere Signaturen, welche in L-Theoriegruppen liegen, verstanden werden. Diese sind invariant unter orientierter Homotopieäquivalenz. Die Novikov-Vermutung sagt, dass auch viel direkter berechnenbare numerische höhere Signaturen Homotopieinvarianten sind. In voller Allgemeinheit ist die Novikov Vermutung bis heute nicht bekannt. Der erste Teil des Projekts beschäftigt sich mit einem neuen Kandidaten einer geometrisch definierten höheren Signatur, welche eine Homotopieinvariante sein sollte: die L-theoretische Signatur von Untermannigfaltigkeiten von Kodimension 2 (mit kleinen Zusatzbedingungen). Hierzu sollen die L-Theoriegruppen besser verstanden und geeignete Transfer-Homomorphismen entwickelt und berechnet werden. Für den zweiten Teil des Projekts beobachten wir, dass ein Weg, klassische Signaturen zu berechnen die L2-Homologie benutzt. Interessant ist, dass das vollständige Verschwinden dieser Homologie möglich ist. Wir nennen solche Mannigfaltigkeiten L2-bettilos. Der zweite Teil des Projekts beschäftigt sich mit der Bordismusklassifikation dieser Art von Mannigfaltigkeiten: wann ist eine gegebene Mannigfaltigkeit bordismus-äquivalent zu einer L2-bettilosen Mannigfaltigkeit? Welche sekundären Invarianten gibt es, um L2-bettilose Mannigfaltigkeiten zu klassifizieren? Was ist ihre Bordismustheorie? Zur Beantwortung dieser Fragen werden Werkzeuge aus der Funktionalanalysis, der Theorie quadratischer Formen und insbesondere der Chirurgietheorie weiterentwickelt und eingesetzt werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: USA
• Kooperationspartner: Professor James Frederic Davis, Ph.D.