Unabhängigkeitsvermutungen für GKM-Mannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Dr. Grigory Solomadin, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 561158824

Torische Geometrie und ihre Derivate, wie z.B. torische Topologie, sind ein gut etabliertes Forschungsgebiet mit vielen tiefgreifenden mathematischen Ergebnissen. In diesem Zusammenhang bezieht sich der Begriff „Komplexität“ auf die Zahl n-k, wobei k die reelle Dimension eines kompakten Torus ist, der effektiv auf einer glatten Mannigfaltigkeit der Dimension 2n wirkt, oder die komplexe Dimension eines algebraischen komplexen Torus, der effektiv auf einer n-dimensionalen komplexen nicht-singulären Varietät wirkt. Wirkungen der Komplexität 0 und 1 (mit isolierten Fixpunkten) sind sowohl in der algebraischen Topologie als auch in der Geometrie relativ gut bekannt. Es gibt ein wachsendes Interesse an der Untersuchung von Wirkungen mit höherer Komplexität. Ein Prinzip, das dieses Forschungsgebiet leitet, ist, dass generische Aktionen hoher Komplexität Eigenschaften aufweisen, die denen einer Wirkung der Komplexität Null entsprechen, die auf einen generischen Untertorus eingeschränkt wurde. In diesem Fall kann „Generizität“ als j-Unabhängigkeit definiert werden, was bedeutet, dass die tangentialen Gewichte der Wirkung an jedem Fixpunkt ein Tupel von Vektoren bilden, so dass je j (oder weniger) verschiedene Elemente linear unabhängig sind. Eine schöne Klasse von Torus-Wirkungen ist die der GKM-Mannigfaltigkeiten. Dies liegt daran, dass viele Homotopie-Invarianten und topologische Eigenschaften eines Raumes mit einer Torus-Wirkung im Falle einer GKM-Mannigfaltigkeit anhand des zugehörigen GKM-Graphen (ein endlicher Graph mit Beschriftungen seiner Kanten durch Elemente aus Z^k, die eine Reihe von Eigenschaften erfüllen) untersucht werden können. Dieses Prinzip versagt in der größeren Klasse der nicht-generischen Wirkungen (durch die Ergebnisse von Luna, Vust; Ayzenberg, Cherepanov). Das Ziel des aktuellen Projekts ist es, eine scheinbar paradoxe Dichotomie in Bezug auf nicht erweiterbare Torusaktionen auf glatten Mannigfaltigkeiten innerhalb der Klasse der 4-unabhängigen GKM-Torusaktionen aufzuklären. Die Ziele dieses Projekts sind geometrischer und topologischer Natur. Die erwarteten Ergebnisse würden eine Klassifizierung von 4-unabhängigen GKM-Mannigfaltigkeiten und eine effektivere Beschreibung der entsprechenden äquivarianten Kohomologie (im Vergleich zum GKM-Theorem) liefern. Außerdem würde dies die von Masuda und Kuroki vorgeschlagenen Vermutungen beweisen oder widerlegen. Als sekundäres Ziel erwarten wir, neue interessante Beispiele für GKM-Mannigfaltigkeiten mit perfekten Fundamentalgruppen zu finden.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle