Nichtlineare Differentialgleichungen mit kleinem Parameter

• Antragsteller: Professor Dr. Nikolai N. Tarkhanov
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2007 bis 2014
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 56215355

• Erstellungsjahr: 2014

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Ziel der Arbeit ist es, die Eigenschaften von Lösungen zu nichtlinearen Differentialgleichungen in den Intervallen zu untersuchen, in denen ein wesentlicher Umbau wegen der Resonanz und Dissipation stattfindet. Generell lassen sich nichtlineare Differentialgleichungen nur im Falle untersuchen, wenn sie von einem kleinen (oder großen) Parameter abhängen. Wenn es keinen kleinen Parameter gibt, mußte er sogar ausgedacht werden. Also lassen sich mathematische Objekte nur im Falle beobachten, wenn sie sich ändern. Dazu gehören auch kleine nichtlineare Störungen des Cauchy-Problems und anderer Randwertprobleme für überbestimmte elliptische lineare Differentialgleichungen. Im Rahmen des Projektes wurden folgende Hauptresultate festgestellt. Es wurde rigorose mathematische Beschreibung der Abbruchsprozesse von Autoresonanzwachstum in nichtlinearen Systemen hergeleitet. Für den Maximalwert der Amplitude bei Autoresonanzwachstum wurde eine asymptotische Formel in der allgemeinen Situation bewiesen. Für die Gleichung der Hauptresonanz wurde eine Verbindungsformel für die Lösung vor und nach der Resonanz unter Berücksichtigung der Dissipation hergeleitet. Für die p-Laplace’sche Gleichung und die anderen Lagrange’schen Gleichungen wurden gemischte Randwertprobleme wie das Zaremba-Problem untersucht. Des Weiteren wurde die Methode für die Konstruktion von Mehrphasenlösungen der Gleichungen mathematischer Physik entwickelt, welche auf Differentialbeziehungen in der Gestalt von nichtlinearen gewöhnlichen Differentialgleichungen spezieller Form beruht. Fur Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen 2. Ordnung wurde das Äquivalenzproblem mit Hilfe des Symmetrieverfahrens gelöst. Ergebnisse in dieser Richtung werden einerseits aus innermathematischen Gründen motiviert aber auch im Hinblick auf Anwendungen in den Naturwissenschaften. Da das Cauchy-Problem für die Lösungen elliptischer Differentialgleichungen nicht stabil ist, ist die Untersuchung von kleinen nichtlinearen Störungen des Problems ein inhaltsreiches Problem. Aus diesen Gründen wird das Cauchy-Problem und andere Randwertprobleme für elliptische Differentialgleichungen unter der Variationsformulierung untersucht. Mit Hilfe der Eulerschen Gleichungen wurde der Dirichlet-zu-Neumann-Operator im nichtlinearen Kontext definiert. Das Cauchy-Problem für das Cauchy-Riemann-System hat überraschende Anwendungen auf die Riemann-Vermutung. Es wurden einige numerische Experimente fur die Riemannsche Vermutung ausgeführt, die zeigen, dass die Vermutung eher stimmt als falsch ist.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Forced nonlinear resonance in a system of coupled oscillators, Chaos 21 (2011), 023109
  Glebov, S. G., Kiselev, O. M., and Tarkhanov, N.
  
• On completeness of root functions of Sturm-Liouville problems with discontinuous boundary operators, J. Differential Equations 255 (2013), 3305-3337
  Shlapunov, A., and Tarkhanov, N.
  
• Differential invariants of a class of Lagrangian systems with two degrees of freedom, J. Math. Anal. Appl. 410 (2014), 733–749
  Bagderina, Yu., and Tarkhanov, N.
  
• Normally solvable nonlinear boundary value problems, Nonlinear Analysis 95 (2014), 468-482
  Alsaedy, A., and Tarkhanov, N.
  
• Scattering of trajectories at a separatrix under autoresonance, J. Math. Physics 55 (2014), Issue 5
  Kiselev, O., and Tarkhanov, N.
  
• The capture of a particle into resonance at potential hole with dissipative perturbation, Chaos, Solitons and Fractals. Chaos, Solitons & Fractals, Volume 58 (January 2014) , 27-39
  Kiselev, O., and Tarkhanov, N.