Zwei Anwendungen der doubling method: Das Basisproblem für Siegelsche Modulformen für die Weil-Darstellung und die Kodaira-Dimension von A_6

• Antragsteller: Dr. Manuel Karl-Heinz Müller
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 566117541

Die doubling method ist ein mächtiges Werkzeug in der Theorie der Modulformen. In diesem Projekt soll sie weitere Anwendungen finden und in einem neuen geometrischen Kontext herangezogen werden. In seiner bisherigen Arbeit hat der Antragsteller die doubling method erfolgreich auf das Basisproblem für elliptische Modulformen für die Weil-Darstellung angewendet. Nun sollen die Methoden auf den Fall Siegelscher Modulformen ausgedehnt werden und das Basisproblem für diese Klasse von Funktionen gelöst werden. Darüber hinaus soll die Kodaira-Dimension des Modulraums A_6 mithilfe der doubling method untersucht werden. Die Weil-Darstellung beschreibt, wie vektorwertige Siegelsche Thetareihen, spezielle Funktionen, die geraden Gittern zugeordnet werden, unter der metaplektischen Gruppe transformieren. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Darstellungstheorie, in der Theorie der Modulformen und sogar in der Quantenfeldtheorie. Das Basisproblem stellt die Frage, ob der Raum der Spitzenformen, eine wichtige Klasse von Modulformen, durch Thetareihen gerader Gitter erzeugt wird. Dies ist eine klassische Frage in der Theorie der Modulformen und hat Anwendungen, zum Beispiel in der Geometrie orthogonaler Shimura-Varietäten. Der Modulraum A_n parametrisiert prinzipal polarisierte komplexe abelsche Varietäten der Dimension n. Die Kodaira-Dimension einer (quasi-)projektiven Varietät misst die Größe ihres kanonischen Modells und ist eine fundamentale Invariante in der algebraischen Geometrie. Während die Kodaira-Dimension von A_n für alle n verschieden von 6 seit über 40 Jahren bekannt ist, ist der Fall n = 6 bisher ungelöst. Dieses geometrische Problem soll durch Anwendung der doubling method auf geeignete Siegelsche Modulformen in Angriff genommen werden.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Italien
• Gastgeber: Professor Riccardo Salvati Manni, Ph.D.