Große Kardinalzahlen, mengentheoretische Definierbarkeit und Kombinatorik singulärer Kardinalzahlen

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Philipp Lücke
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 567184449

Singuläre Kardinalzahlen, mengentheoretische Definierbarkeit und große Kardinalzahlen sind zentrale Themen der modernen Mengenlehre. An den Schnittstellen dieser Themen liegen wichtige offene Fragen, die die Zielrichtung der Forschung in diesem Gebiet maßgeblich mitbestimmen. Das wichtigste Beispiel hierfür liefert die HOD-Vermutung von Hugh Woodin. Diese wirft die Frage auf, ob Große Kardinalzahl Axiome implizieren, dass sich das mengentheoretische Universum durch definierbare Mengen hinreichend gut approximieren lässt. Diese Vermutung ist eines der prominentesten offenen Probleme in der Mengenlehre, da ihre Klärung weitreichende Auswirkungen auf zentrale Bestrebungen in diesem Bereich hätte. Im Rahmen seines Heisenberg-Projekts erforscht der Antragsteller neue Ansätze für Probleme, die an der Schnittstelle der drei genannten Themen liegen. Die bisher erzielten Ergebnisse verdeutlichen das große Potenzial der gewählten Ansätze, da zentrale Zielsetzungen des Heisenberg-Projekts bereits erreicht wurden. Insbesondere hat eine Zusammenarbeit mit Forschern aus Wien und Barcelona zur Identifizierung der ersten Beispiele für natürliche Große Kardinalzahl Axiome geführt, die implizieren, dass das mathematische Universum so komplex ist, dass Mengen existieren, die nicht Ordinalzahl-definierbar sind. Diese neu entdeckten "large cardinals beyond HOD" eröffnen einen klaren Weg, die HOD-Vermutung mithilfe Großer Kardinalzahl Axiome zu widerlegen. Darüber hinaus wurde ein Programm zur Untersuchung Ramsey-theoretischer Eigenschaften singulärer Kardinalzahlen initiiert, das diese anhand struktureller Eigenschaften einfach definierbarer Mengen analysiert. Hierbei wurde ein neuer Ansatz entwickelt, um die notorisch offene Frage zu beantworten, ob die erste singuläre Kardinalzahl eine Jónsson-Kardinalzahl sein kann. Das vorliegende Projekt hat nun das Ziel, den Umfang der laufenden Forschungsaktivitäten erheblich zu erweitern und ihre Ambitionen signifikant zu steigern. Zunächst soll das neu entdeckte Gebiet der "large cardinals beyond HOD" eingehend erforscht werden. Der Schwerpunkt soll dabei auf dem Zusammenspiel dieser Objekte mit anderen großen Kardinalzahlen und den Auswirkungen ihrer Kombinatorik auf die mengentheoretische Definierbarkeit liegen. Diese Pläne haben das übergeordnete Ziel, neue grundlegende Einsichten in die Natur großer Kardinalzahlen zu gewinnen und letztendlich die HOD-Vermutung zu widerlegen. Zusätzlich wird dieses Projekt einen neuen Ansatz zur Analyse starker Großer Kardinalzahl Axiome weiterentwickeln, der auf Verallgemeinerungen von Konzepten aus der deskriptiven Mengenlehre basiert. Zuletzt wird das Projekt die Untersuchung einfach definierbarer Mengen bei überabzählbaren Kardinalzahlen mit starken kombinatorischen Eigenschaften vorantreiben. Ziel hierbei ist es, die möglichen Ramsey-theoretischen Eigenschaften der ersten singulären Kardinalzahl weiter einzuschränken.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen