Willmore-Flächen mit vorgeschriebener normalisierter mittlerer Krümmung: Asymptotisches Verhalten bei großem Geschlecht

• Antragsteller: Christian Scharrer, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 569615323

Motiviert durch Bubbling-Phänomene biologischer Zellmembranen untersuchen wir Willmore-Minimierer in der Klasse der eingebetteten geschlossenen Flächen mit vorgeschriebenem Geschlecht, totaler skalarer mittlerer Krümmung und Flächeninhalt. Durch die Skalierungsinvarianz des Willmore-Funktionals können die letzten beiden Nebenbedingungen zu einer einzigen Nebenbedingung an den skalierungsinvarianten Quotienten zusammengefasst werden. Diese natürliche Nebenbedingung an die normalisierte mittlere Krümmung führt zu einer Vielzahl bisher unbekannter faszinierender Formen. Die folgenden beiden charakteristischen Bubble-Konstellationen können beobachtet werden: Zwei entgegengesetzt orientierte konzentrische Sphären gleicher Radien, sowie zwei sich in einem Punkt berührende Sphären gleicher Radien. Für einen gegebenen Wert der normalisierten mittleren Krümmung in diesem Bereich erhalten wir eine Folge von glatten Willmore-Minimierern als Funktion ihres Geschlechts. Wir vermuten, dass der Grenzwert dieser Folge bei normalisiertem Flächeninhalt gegeben ist durch zwei sich schneidende Sphären, wobei der Schnittwinkel glatt von der Nebenbedingung abhängt. Genauer gesagt konzentriert sich die vorgegebene Topologie in Form kleiner Tunnel entlang des Schnittkreises. Anstatt den Flächeninhalt zu normalisieren, kann die Folge alternativ so verschoben und reskaliert werden, dass die Norm der zweiten Fundamentalform im Ursprung ihren maximalen Wert eins annimmt. Dies führt im Grenzwert zu einer vollständigen nicht-kompakten Minimalfläche. Wir vermuten, dass dieser Grenzwert eine einfach periodische Scherk-Fläche ist, welche asymptotisch zu den zwei Ebenen verläuft, die sich unter demselben Winkel schneiden wie die beiden Sphären. Das bedeutet, dass die gesamte Familie der einfach periodischen Scherk-Flächen als Grenzwert von Willmore-Minimierern aufgefächert werden kann. Unser Ziel ist es, diese faszinierende Idee im Zusammenhang der biologisch motivierten Minimierungsprobleme genauer zu untersuchen.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen