Trim turnpikes für diskrete optimale Steuerungsprobleme mit Symmetrien

• Antragstellerinnen: Dr. Sofya Maslovskaya; Professorin Dr. Sina Ober-Blöbaum
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2025
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 571894560

Dieses Projekt untersucht Trim-Turnpikes in diskreten optimalen Steuerungsystemen mit Symmetrien - eine neuartige Forschungsrichtung, die bislang noch nicht erforscht wurde. Es umfasst mehrere zentrale Themenbereiche, darunter die Theorie der diskreten Optimalsteuerung, geometrische Reduktion, Turnpike-Theorie sowie struktur­erhaltende numerische Methoden. In den letzten zehn Jahren wurde die Turnpike-Eigenschaft in Optimalsteuerungsproblemen (OCPs) in verschiedenen Kontexten intensiv untersucht: in endlich- und unendlichdimensionalen, deterministischen und stochastischen sowie in kontinuierlicher und diskreter Zeit. Die Turnpike-Eigenschaft ist insbesondere für die effiziente Berechnung optimaler Lösungen auf langen Zeitintervallen bedeutsam, für die Vereinfachung von Steuerungsstrategien in der modellprädiktiven Regelung (MPC) sowie für die Robustheit und Stabilität bestimmter Probleme. Während sich ein Großteil der bisherigen Forschung auf stationäre Turnpikes konzentriert hat, bei denen Lösungen gegen einen Gleichgewichtszustand konvergieren, weisen viele Optimalsteuerungsprobleme nicht-statische Turnpikes auf - darunter periodische, lineare, Mannigfaltigkeits- und Trim-Turnpikes. Letztere stehen in Zusammenhang mit Symmetrien in Optimalsteuerungsproblemen, die insbesondere in der Mechanik auftreten, da dort ein enger Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen besteht. Für diese allgemeinere Klasse von Problemen bleiben mehrere grundlegende Fragen offen. Im vorgeschlagenen Projekt adressieren wir die folgenden Punkte: (i) Wir formulieren den Rahmen und die Werkzeuge zur Analyse der Turnpike-Eigenschaft im Kontext diskreter optimaler Steuerungssysteme. (ii) Wir übertragen Reduktionstechniken für Steuerungssysteme mit Symmetrien für die diskrete Formulierung. (iii) Anschließend erweitern wir den Zustands-Steuerungs-Turnpike-Satz unter Dissipativitätsannahmen auf diskrete optimale Steuerungssysteme mit Symmetrien. (iv) In demselben Kontext analysieren wir die Turnpike-Eigenschaft aus Sicht des Pontrjagin’schen Maximumprinzips, um eine Zustands-Adjungierte-Turnpike-Eigenschaft in der diskreten Formulierung abzuleiten. (v) Wir etablieren eine Trim-Turnpike-Eigenschaft in der kontinuierlichen Formulierung für symmetrische OCPs mit allgemeinen Randbedingungen. (vi) Basierend auf den analytischen Entwicklungen aus (i)–(iv) wird anschließend ein äquivalentes Resultat in der diskreten Formulierung bewiesen. (vii) Nachdem die (Trim-)Turnpike-Eigenschaft in der kontinuierlichen und der diskreten Formulierung entwickelt und analysiert ist, untersuchen wir deren Erhaltung unter Diskretisierung des kontinuierlichen Problems. (viii) Eine spezifische Klasse mechanischer Steuerungssysteme, die eine der Hauptmotivationen für dieses Projekts darstellt, wird betrachtet.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen