Optimales Design für spröde Materiallen unter Schädigung: Approximationsschemas und Optimalitätssysteme

• Antragstellerin: Dr. Livia Betz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 575166624

Das Ziel des vorgeschlagenen Projekts ist die Herleitung notwendiger Optimalitätsbedingungen in qualifizierter Form für Design Probleme, denen Schädigungsmodelle für spröde Werkstoffe zugrunde liegen. Das vorgeschlagene Problem fällt in die große Klasse der Form- und Topologieoptimierungsprobleme. Solche Probleme sind nichtkonvex und stehen im Zusammenhang mit Optimalsteuerungsproblemen, wobei die Kontrollvariable die unbekannte Geometrie selbst ist. Während optimale Designprobleme üblicherweise mit Methoden geometrischer Variationen behandelt werden, wollen wir einen anderen, funktionalen Variationsansatz benutzen. Der Übergang von geometrischen zu funktionalen Variationen führt zu einem “klassischen” Steuerungsproblem (P), bei dem die zulässige Menge aus einer bestimmten Familie von Parametrisierungen besteht. Durch diese Vorgehensweise wird das ursprüngliche Design Problem zugänglicher für Methoden der Optimalsteuerungstheorie, behält jedoch weiterhin die Nichtkonvexität der zulässigen Menge bei. Das mathematische Modell (Zustandssystem) besteht aus einer nichtlinearen Gleichung, gekoppelt mit einer viskosen evolutionären Variationsungleichung. Selbst wenn man die unbekannte Geometrie außer Acht lässt, stellt die Formulierung der Zustandsgleichungen aufgrund des stark nicht-glatten Charakters und der komplexen nichtlinearen Natur des Problems eine Herausforderung dar. Um unser Ziel zu erreichen, schlagen wir folgende Vorgehensweise vor: 1. Wir führen ein approximierendes Steuerungsproblem für (P) ein (und damit auch für das ursprüngliche Design Problem), wobei das Zustandssystem auf einen festen Referenzbereich erweitert wird. Durch dieses Vorgehen spielt der variable Charakter der Geometrie vorerst keine Rolle mehr. Darüber hinaus wollen wir die Nichtkonvexität der zulässigen Menge F umgehen, indem wir sie durch eine konvexe Teilmenge eines Hilbert-Funktionenraums ersetzen. 2. Wir beweisen die Durchführbarkeit des oben genannten konvexen Approximationsschemas. Dabei verfolgen wir einen optimalen Steuerungsansatz, der es uns später ermöglichen sollte, Optimalitätssysteme für (P) zu erhalten. Das Hauptergebnis dieses Schrittes soll sein, dass wir jedem Optimum des Design Problems eine Folge globaler Minimierer von dem approximierenden Steuerungsproblem zuordnen können. 3. Wir leiten Optimalitätssysteme für das Hauptoptimierungsproblem (P) ab, indem wir zunächst die notwendigen Bedingungen für die Steuerung des approximierenden Problems festlegen und dann zum Grenzwert übergehen (d.h., der Approximationsparameter soll gegen Null konvergieren). Dies sollte zu Optimalitätsbedingungen in qualifizierter Form führen, die aus einem adjungierten System, einer Gradientenungleichung und einer Subdifferentialinklusion bestehen. Diese werden dann (zurück) auf das ursprüngliche optimale Designproblem übertragen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen