Kurvenzählung in Calabi–Yau 5-Mannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Yannik Schüler-Hammer, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 576663726

Enumerative Geometrie befasst sich mit der Abzählung geometrischer Objekte einer bestimmten Art. Gromov–Witten Theorie bietet einen Rahmen zur Zählung komplexer Kurven in einem gegebenen algebraischen Umgebungsraum (einer Varietät). Seit den 1990er Jahren ging die Entwicklung dieses Fachgebiets Hand in Hand mit Fortschritten in der mathematischen Physik, insbesondere der topologischen Stringtheorie. Bewegt sich ein String durch die Raumzeit, spannt er eine real zweidimensionale Fläche aus — also eine komplexe Kurve. Pfadintegrale in topologischer Stringtheorie erhalten somit eine mathematische Verkörperung als Gromov–Witten Invarianten. Am meisten untersucht ist der Fall, in dem die Varietät, also Raumzeit, eine komplexe Calabi–Yau 3-Mannigfaltigkeit ist. Hier hat das Zusammenspiel zwischen enumerativer Geometrie und mathematischer Physik mehrere einflussreiche Vermutungen hervorgebracht. Dazu gehören die Maulik–Nekrasov–Okounkov–Pandharipande Vermutung, die Gromov–Witten Invarianten mit Garben-theoretischen Zählungen gleichsetzt, und die Gopakumar–Vafa Vermutung, die grundlegendere Invarianten vorhersagt, die der Gromov–Witten Theorie zugrunde liegen. Dieses Projekt wird Evidenz für eine äquivariante Verallgemeinerung dieser Vermutungen im Rahmen von Calabi–Yau 5-Mannigfaltigkeiten mit einer Gruppenwirkung liefern. Wird die Calabi–Yau 5-Mannigfaltigkeit als Produkt einer 3-Mannigfaltigkeit und der komplexen Ebene und mit einer speziellen Toruswirkung gewählt, reduzieren sich die vorgeschlagenen Verallgemeinerungen auf die ursprünglichen Vermutungen zu 3-Mannigfaltigkeit. Bis heute gibt es keine Evidenz für die verallgemeinerten Vermutungen über diesen Produktfall hinaus. Das Projekt zielt darauf ab, diese Lücke durch eine Überprüfung in einer Klasse von grundlegenden, aber dennoch repräsentativen Geometrien zu schließen und grundlegende Techniken zu entwickelt, die für einen Beweis der Vermutungen für torische Varietäten und lokale Kurven erforderlich sind. Dies wird durch die Verallgemeinerung bekannter Methoden von drei auf fünf Dimensionen erreicht. Das schließt die Entwicklung eines Vertexformalismus für die Gromov–Witten Theorie torischer 5-Mannigfaltigkeiten ein. Als Nebenprodukt wird dieser Formalismus neue Formeln für Hodge-Integrale über den Modulraum der Kurven liefern. Über die algebraische Geometrie hinaus haben die Ergebnisse dieses Projekts Auswirkungen auf die mathematische Physik. So lässt sich beispielsweise eines der Hodge-Integrale mit dem Index 11-dimensionaler Supergravitation identifizieren. Darüber hinaus leistet das Projekt einen Beitrag zu den mathematischen Grundlagen topologischer M-Theorie: Die Erkenntnisse zu Kurvenzählung in 5-Mannigfaltigkeiten implizieren nicht-triviale Eigenschaften, die jede mögliche mathematische Charakterisierung von M2-Branen, bestimmte dynamische Objekte in M-Theorie, erfüllen muss. In bestimmten Fällen werden rigorose modulare Interpretationen für M2-Branen vorgeschlagen.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Schweiz
• Gastgeber: Professor Dr. Rahul Pandharipande