Von der Stabilität der Solitonen zum globalen Verhalten: Eine einheitliche Untersuchung der nichtlinearen Schrödinger und Euler-Korteweg Gleichungen mit nichttrivialem Fernfeld

• Antragsteller: Dr. Jordan Berthoumieu
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 577909696

Dieses Projekt konzentriert sich auf eine einheitliche Untersuchung der nichtlinearen Schrödinger- (NLS) und Euler–Korteweg-Gleichungen (EK) mit nichttrivialen Fernfeldbedingungen. Dabei werden dispersive Analysemethoden mit hydrodynamischen Ansätzen kombiniert. Diese Modelle spielen eine zentrale Rolle in der nichtlinearen Optik, in Bose–Einstein-Kondensaten, in der Supraleitungs- und Superfluiditätstheorie sowie in Quantenplasmen. NLS-Gleichungen mit nichtverschwindenden Bedingungen im Unendlichen zeigen eine deutlich reichere Dynamik als im klassischen Fall mit verschwindenden Bedingungen, insbesondere durch das Auftreten kohärenter Strukturen wie dunkler Solitonen. Frühere Arbeiten des Antragstellers haben Existenz, Eindeutigkeit und orbitale bzw. asymptotische Stabilität von wandernden Wellen in diesem nichtintegrablen Rahmen nachgewiesen. Über die Madelung-Transformation besteht zudem eine Verbindung zwischen NLS und Euler–Korteweg-Systemen, wodurch eine Brücke zur Quantenhydrodynamik geschlagen und die Untersuchung transversaler Stabilitäts- und Instabilitätsphänomene ermöglicht wird. Die Hauptziele sind: -Kollisionen von Solitonen in 1D (NLS): Untersuchung der asymptotischen Stabilität von Solitonketten und Analyse von Kollisionen (elastisch oder inelastisch) zwischen wandernden Wellen in nichtintegrablen Systemen. -Das mehrdimensionale Cauchy-Problem (NLS): Vertiefung des Verständnisses von globaler Existenz versus Blow-up für allgemeine Nichtlinearitäten, insbesondere in fokussierenden Fällen und höheren Dimensionen. Ziel ist es, jüngste Ergebnisse im defokussierenden Rahmen zu erweitern. -Transversale Stabilität für (EK): Analyse des Stabilitätsübergangs von wandernden Wellen beim Übergang von einer zu höheren Dimensionen, insbesondere auf Produkträumen, und Bestimmung kritischer Schwellenwerte für Stabilität bzw. Instabilität.

• DFG-Verfahren: Stelle