Der universelle Deformationsraum einer Poisson-Struktur mit kompakten Quellfasern

• Antragsteller: Professor Dr. Ioan Marcut
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 580538076

Dieses Projekt liegt im Bereich der Poisson-Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie, das die klassische Poisson-Klammer aus der Hamiltonschen Mechanik verallgemeinert. Es ist Teil eines größeren Programms, das untersucht, wie solche geometrischen Strukturen deformiert werden können. Die Gesamtheit aller Poisson-Strukturen auf einer Mannigfaltigkeit, wobei isomorphe Strukturen identifiziert werden, bildet den sogenannten Poisson-Modulraum. Dieser beschreibt, wie eine Poisson-Struktur kontinuierlich in eine andere überführt werden kann. Im Allgemeinen ist dieser Raum nur unzureichend verstanden: Er ist oft unendlichdimensional, möglicherweise lokal nicht zusammenhängend, und es fehlen allgemeine Methoden zu seiner Untersuchung. Das Projekt führt eine neue Klasse von Poisson-Mannigfaltigkeiten ein und untersucht sie – die sogenannten quellenkompakten Poisson-Mannigfaltigkeiten. Sie werden über ihr Weinstein-Gruppoid definiert, ein Objekt aus der Integrierbarkeitstheorie von Lie-Algebroiden, das in der Poisson-Geometrie eine Rolle ähnlich dem Fundamentalgruppoid in der Topologie spielt. „Quellenkompakt“ bezeichnet eine Kompaktheitseigenschaft dieses Gruppoids, die gutes geometrisches Verhalten auch im nichtglatten Fall gewährleistet. Ziel des Projekts ist es, Deformationen solcher Strukturen zu verstehen und zu klassifizieren, indem ein universeller Deformationsraum konstruiert wird – eine größere Poisson-Mannigfaltigkeit, die alle benachbarten Strukturen zugleich erfasst. Es wird erwartet, dass diese „Vervollständigung“ der ursprünglichen Mannigfaltigkeit selbst starr ist (d. h. keine weiteren Deformationen zulässt) und den Poisson-Modulraum lokal parametrisiert. Erwartete Konsequenzen sind, dass quellenkompakte Poisson-Mannigfaltigkeiten eine offene Klasse unter allen Poisson-Strukturen bilden, ungehinderte infinitesimale Deformationen besitzen und singuläre Foliationen aufweisen, die unter Deformation stabil bleiben. Das Projekt baut auf früheren Arbeiten des Antragstellers zu lokalen Normalformen und Rigiditätssätzen in der Poisson-Geometrie auf. Analytisch stützt es sich auf den Nash–Moser-Satz von der Umkehrabbildung für Fréchet-Räume, ein zentrales Werkzeug zur Behandlung unendlichdimensionaler geometrischer Probleme. Im komplex-algebraischen Kontext traten universelle Poisson-Deformationen in Arbeiten von Namikawa auf. Im glatten Fall identifizierte ein Ergebnis des Antragstellers – die Hauptinspiration für dieses Projekt – einen solchen Deformationsraum für bestimmte Poisson-Strukturen auf Sphären aus der Lie-Theorie. Eng verwandt sind die kürzlich eingeführten Poisson-Mannigfaltigkeiten kompakter Typen. Im Vergleich dazu erfüllen quellenkompakte Poisson-Mannigfaltigkeiten eine stärkere Kompaktheitseigenschaft, müssen aber nicht integrierbar sein. Da Integrierbarkeit unter Deformationen nicht stabil ist, lautet die zentrale Hypothese des Projekts, dass Quellenkompaktheit stabil bleibt.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen