Effektive Gleichungen für Licht-Materie-Wechselwirkungen und fermionische Systeme bei endlicher Temperatur

• Antragsteller: Professor Dr. Nikolai Leopold
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 580841385

Das Ziel dieses Projekts ist es, ein tiefergehendes Verständnis der Nicht-Gleichgewichts-Dynamik fermionischer Systeme zu erlangen. Fermionen sind die fundamentalen Bausteine der Materie, und ihr Verhalten zu verstehen, ist entscheidend für die Beschreibung von Atomen und Molekülen. Die zeitliche Entwicklung fermionischer Systeme erfolgt quantenmechanisch nach der Schrödingergleichung, die jedoch für Vielteilchensysteme weder analytisch noch numerisch lösbar ist. Daher werden effektive Gleichungen verwendet, die als Näherung der vollständigen Quantendynamik dienen und leichter analysierbar sind. Der Hauptteil des Projekts widmet sich der mathematisch rigorosen Validierung solcher Gleichungen für viele Fermionen bei endlicher Temperatur. Dabei werden die Maxwell-Schrödinger-Gleichungen aus der Pauli-Fierz-Dynamik -- einem mathematisch rigorosen Modell der nichtrelativistischen Quantenelektrodynamik -- im semiklassischen Mittelfeldlimit für das großkanonische Ensemble hergeleitet. In Verbindung mit früheren Ergebnissen des Antragstellers und einer Koautorin ermöglicht dies erstmals eine rigorose Herleitung der regularisierten Vlasov-Maxwell-Gleichung mit brauchbarer Konvergenzrate. Darüber hinaus wird eine neue Methode im Formalismus der ersten Quantisierung entwickelt, um Mittelfeld- und kinetische Gleichungen aus der Quantendynamik vieler Fermionen im kanonischen und mikrokanonischen Ensemble rigoros herzuleiten. Als einführendes Teilprojekt werden zudem die Newton-Maxwell-Gleichungen aus der Pauli-Fierz-Dynamik im klassischen Limes mit expliziter Konvergenzrate hergeleitet. Das Projekt wird das Verständnis dafür vertiefen, wie die Maxwell-Gleichungen als effektive Theorie der Quantenelektrodynamik hervorgehen, und liefert neue Werkzeuge zur effektiven Beschreibung fermionischer Systeme bei endlicher Temperatur. Die entwickelten Methoden werden voraussichtlich auch für Systeme mit singulären Wechselwirkungen sowie für bosonische Systeme bei endlichen Temperaturen von Nutzen sein.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen