Kombinatorische Probleme aus der Symmetrischen Kryptographie

• Antragsteller: Dr. Christof Beierle; Dr. Alexandr Polujan
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Theoretische Informatik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 581467925

Almost Perfect Nonlinear (APN)-Funktionen sind in der Symmetrischen Kryptographie zentral, da sie maximalen Widerstand gegen differentielle Angriffe bieten. Sie sind außerdem kombinatorisch interessant, da Sie eine Möglichkeit zur Konstruktion von Sidon-Mengen bieten und zu bestimmten Inszidenzstrukturen in der endlichen Geometrie korrespondieren. Viele grundlegende Fragen zu ihrer Konstruktion und Klassifikation sind jedoch weiterhin offen. Bisherige algebraische Ansätze lieferten zwar mehrere unendliche Familien solcher Funktionen, jedoch meist nur wenige Beispiele pro Dimension. Zudem ist die kombinatorische Struktur der gesamten Klasse bislang unzureichend verstanden. Mit einem kombinatorischen Ansatz zielt dieses Projekt darauf ab, einige dieser langjährigen Probleme bei der Konstruktion und Analyse von APN-Funktionen zu adressieren, indem tiefere strukturelle Verbindungen zwischen APN-Funktionen und einem ihrer Hauptbausteine - den Bent-Funktionen - hergestellt werden. Ein Grund für den bisherigen langsamen Fortschritt war die geringe Zahl bekannter APN-Beispiele in kleinen Dimensionen. Diese Situation hat sich grundlegend geändert, da die Antragsteller kürzlich Millionen neuer quadratischer APN-Funktionen konstruierten - ein Durchbruch, ermöglicht durch die Kombination komplementärer Expertise und leistungsfähiger Rechenmethoden. Aufbauend auf diesen Ergebnissen wird das Projekt tiefere kombinatorische Zusammenhänge zwischen Bent- und APN-Funktionen aufdecken und neue Designmethoden entwickeln. Das entstehende theoretische und rechnerische Framework wird zudem den Transfer dieser Methoden von Charakteristik zwei auf Körper ungerader Charakteristik ermöglichen und damit neue Konstruktionstechniken für planare Funktionen - das Analogon zu APN-Funktionen in ungerader Charakteristik - bereitstellen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen