Algebraische Klassifikation abelscher Varietäten über endlichen Körpern

• Antragsteller: Dr. Stefano Marseglia
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2026
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 584021622

Zu den am intensivsten untersuchten Objekten an der Schnittstelle zwischen Zahlentheorie und algebraischer Geometrie gehören abelsche Varietäten, also projektive Varietäten, deren Punktmengen eine Gruppenstruktur tragen. Abelsche Varietäten besitzen eine äußerst reiche algebraische Struktur, die sie zu grundlegenden Werkzeugen für das Verständnis der Geometrie und Arithmetik von Kurven über ihre Jacobis macht. Außerdem bilden abelsche Varietäten der Dimension 1, auch als elliptische Kurven bekannt, die über endlichen Körpern definiert sind, die Grundlage einiger der meistverwendeten Kryptosysteme. Aus diesen und vielen weiteren Gründen ist das Verständnis abelscher Varietäten nicht nur aus theoretischer Sicht wichtig, sondern auch wegen ihrer praktischen Anwendungen. Obwohl abelsche Varietäten intensiv untersucht wurden, bleiben sie dennoch recht schwer zu fassen. So liefern etwa die bekannten Methoden, sie als Untervarietäten eines projektiven Raums zu beschreiben, im Allgemeinen Gleichungen, die bereits in Dimension 2 so kompliziert sind, dass sie praktisch kaum handhabbar sind. Unsere Leitziele bestehen darin, abelsche Varietäten, die über einem endlichen Körper definiert sind, konkret darzustellen und sie zusammen mit ihren Polarisierungen bis auf Isomorphie zu klassifizieren. Durch das Erreichen dieser Ziele schließen wir einige wichtige Lücken im derzeitigen Verständnis vieler Invarianten abelscher Varietäten, wie dem p-Rang oder dem Newton-Polygon sowie den daraus induzierten Stratifikationen der entsprechenden Modulräume, die noch immer ziemlich rätselhaft sind. Schließlich hat ein besseres Verständnis der Isomorphieklassen abelscher Varietäten potenzielle Anwendungen in der Post-Quanten-Kryptographie über die sogenannten Isogeniegraphen sowie in der Theorie der Fehlerkorrekturcodes über die sogenannten AG-Codes. Unser erster Schritt besteht darin, Äquivalenzen von der Kategorie der abelschen Varietäten über einem endlichen Körper zu berechenbaren Kategorien von Moduln zu konstruieren. In der Literatur findet man mehrere Äquivalenzen, die derjenigen, die wir in diesem Projekt anstreben, analog sind; sie sind jedoch entweder nur über Unterkategorien der abelschen Varietäten definiert oder die Zielkategorie besteht aus Moduln über einem Ring, der für effektive Berechnungen zu kompliziert oder zu abstrakt beschrieben ist. Der zweite Schritt des Projekts ist die Entwicklung von Methoden zur Klassifikation der Moduln in der Zielkategorie – theoretisch anhand numerischer Invarianten oder algorithmisch mithilfe eines Computers. Kurz gesagt zielt dieses Projekt darauf ab, neue Brücken zwischen der arithmetischen Geometrie der abelschen Varietäten über endlichen Körpern und der algebraischen Welt der Moduln zu schlagen, in der sich effektivere Berechnungen durchführen lassen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen