Nilmannigfaltigkeiten mit linksinvarianter komplexer Struktur

• Antragsteller: Professor Dr. Sönke Rollenske
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2007 bis 2009
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 61662826

• Erstellungsjahr: 2009

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Während des Aufenthalts am Imperial College London wurden wesentliche Fortschritte vor allem in zwei Bereichen erzielt. Die Untersuchung kleiner Deformationen von komplex-parallelisierbaren Nilmannigfaltigkeiten ergab einen engen Zusammenhang zwischen der Geometrie des Deformationsraums und der algebraischen Struktur der Liealgebra. Dies führte zum einen zu einer Beschreibung von Beispielen, wo der Deformationsraum ungewöhnliche Singularitäten hat, zum anderen aber zu einer präzisen Vermutung unter welchen Umständen dies nicht auftritt. Die Vermutung konnte bis zur zweiten Ordnung bewiesen werden. Sogenannte Calabi-Yau Varietäten spielen zum Beispiel in der Klassiflkationstheorie und der theoretischen Physik eine prominente Rolle. Ausgehend von einem klassischen Resultat von Robert Friedman, wurden in gemeinsamer Arbeit mit Prof. Richard Thomas Glättungen von Calabi-Yau Varietäten mit gewöhnlichen Doppelpunkten in höheren Dimensionen untersucht. Erstaunlicherweise verwandelt sich die lineare Bedingung, die Friedman in Dimension 3 gefunden hatte, in ungerader Dimension (mindestens fünf) in eine nicht-lineare Bedingung, die mit Deformationen höherer Ordnung und dem Yukawa-Produkt zusammenhängt. Die Durchführung unter anderem der oben genannten Projekte sowie das Knüpfen von Kontakten für mögliche zukünftige Kooperationen haben den Aufenthalt wissenschaftlich wie persönlich zu einem vollen Erfolg werden lassen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Geometry of nilmanifolds with left-invariant complex structure and deformations in the large, Proceedings of the London Mathematical Society
  Sönke Rollenske
  
• Smoothing nodal Calabi-Yau n-folds, Journal of Topology
  Sönke Rollenske und Richard Thomas
  
• The Kuranishi space of complex parallelisable nilmanifolds, Journal of the European Mathematical Society (JEMS)
  Sönke Rollenske
  
• The computation of the number of connected components, Appendix zu Matteo Penegini: Surfaces isogenous to a product with pg = q = 2, preprint 2008
  Sönke Rollenske
  
• Lie-algebra Dolbeault cohomology and small deformations of nilmanifolds, J. London Math. Soc. 2009
  Sönke Rollenske