Entwurf von geometrisch-algebraischen und analytischen Methoden zur Optimierung von MIMO Kommunikationssystemen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In der drahtlosen Kommunikation und speziell in Mobilkommunikationssystemen ist ein ständig steigender Bedarf an hoher Datenrate bei guter Übertragungsqualität zu verzeichnen. Eine Antwort auf diese Anforderungen stellen Mehrfachantennensysteme (multiple-input/multiple output (MIMO)) dar. Neben den hohen Datenraten verfügen sie über eine höhere spektrale Effizienz als konventionelle Systeme. Eine Möglichkeit, die Datenübertragung in Mehrfachantennensystemen informationstheoretisch zu beschreiben, stellt der MIMO Rayleigh Schwundkanal dar. Die Kapazität als größtmögliche Übertragungsrate bei verschwindender Fehlerwahrscheinlichkeit wird als Maximum der Transinformation von Kanaleingangs- und ausgangsgröße bezüglich der Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Eingangsgröße angegeben. Ziel des Projektes war somit die mathematische Charakterisierung der optimalen Verteilung der Eingangsgröße. Bei Projektbeginn lag bereits ein Ansatz für einen Rayleigh Schwundkanal eines “Einantennensystems” vor, in dem die Beschreibung des Supports der Kapazität erreichenden Inputverteilung als Problem der konvexen Optimierung betrachtet wurde. In diesem Zusammenhang stellt die Transinformation ein auf der Menge der Inputverteilungen mit mittlerer Leistungsbeschränkung konkaves und stetiges Funktional dar, während die Menge der Inputverteilungen selbst als konvex und kompakt gekennzeichnet werden kann. Die Optimierungsbedingung ist dann durch die Karush-Kuhn-Tucker Bedingung beschrieben. Der Support konnte als diskret mit einer endlichen Anzahl von Massenpunkten angegeben werden. In verschiedenen Arbeiten wurde versucht diese Methode auf MIMO Systeme zu übertragen, was eine Anpassung der Modelle an Theorien für Größen in mehreren Variablen voraussetzte. Schwierigkeiten entstanden hier in der komplexen Analysis, insbesondere der Benutzung des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen in mehreren Veränderlichen und der Ableitung von Ergebnissen für komplexere Korrelationsmodelle der Kanalmatrix. In einem ersten Teil des Projektes wurde die Kennzeichnung des optimalen Inputs des MIMO Rayleigh Schwundkanals für Inputverteilungen mit mittlerer Leistungsbeschränkung als Lösung eines konvexen Optimierungsproblems beschrieben, und die entsprechende Karush-Kuhn-Tucker Bedingung abgeleitet. Es konnte gezeigt werden, dass der Support der optimalen Verteilung beschränkt ist. Als Grundlage für eine genauere Charakterisierung wurde die Gültigkeit des Identitätssatzes für holomorphe Funktionen in mehreren komplexen Veränderlichen auch für offene Mengen des Rn bezüglich der entsprechenden Topologie als Teilmenge des Cn bewiesen. In Kombination mit der Beschränktheit des Supports der optimalen Verteilung konnte abgeleitet werden, dass der Support keine offenen Mengen enthält und somit die optimale Verteilung singulär bezüglich des Lebesque-Borel Maßes ist. Für eine Kanalmatrix mit unabhängig, identisch, komplexen radialsymmetrisch Gauß verteilten Koeffizienten kann der Support als Menge von Kugeloberflächen um den Nullpunkt angegeben werden, wobei ihre Radien isolierten Punkten in der Menge der reellen Zahlen entsprechen. Lässt sich die Kovarianzmatrix der Kanalmatrix als Kroneckerprodukt zweier positiv semidefiniter Matrizen beschreiben, entspricht der Support Kugeloberflächen mit diskreten Radien in speziellen Hyperebenen. Ein weiterer wichtiger Aspekt in der drahtlosen Nachrichtenübertragung betrifft die sichere Übertragung, d.h. den Schutz der übertragenen Daten gegen Lauschangriffe oder das ungewollte Abhören durch Dritte, sogenannten Eavesdroppern. Neben der Kryptografie spielt hier aktuell die Sicherung durch informationstheoretische Metoden eine immer größere Rolle. In Vorarbeit zur Anwendung auf MIMO Systeme untersuchten wir hierzu den Compound Wiretap ChannelCWC, einer Anordnung bestehend aus einem Sender, einem legitimen Empfänger und einer dritten Partei, dem Eavesdropper. Der Sender übermittelt Nachrichten über einen nicht bekannten Kanal gewählt aus einer Menge von Kanälen zum legitimen Empfänger, und durch eine entsprechende Kodierung wird versucht dem Mithörer, der den Output einer zweiten Menge von Kanälen kontrolliert, ebendiese Nachricht vorzuenthalten. Hier konnten wir für den Fall, dass der Sender über Kanalkenntnis verfügt, einen Kodierungssatzsatz formulieren, d.h. die größtmögliche Rate, die Sicherheitskapazität CS , bestimmen, mit der der Sender mit asymptotisch verschwindender Fehlerwahrscheinlichkeit zum legitimen Empfänger sendet, bei gleichzeitiger Geheimhaltung der Nachricht vor demMithörer. Für den Fall ohne Kanalkenntnis konnten wir für die Sicherheitskapazität eine obere und untere Schranke angeben. Für den MIMO Rayleigh Schwundkanal wäre es für die angegebenen Fälle, in denen eine erste geometrische Beschreibung des Supports der optimalen Inputverteilung bereits erfolgt ist, wünschenswert über weitergehende analytische Untersuchungen eine Konkretisierung der Lage des Supports zu erreichen. Für Kugelflächen, für die die Radien isolierten Punkten in der Menge der reellen Zahlen entsprechen, können obere und untere Schranken an den maximalen beziehungsweise minimalen Radius bestimmt und deren Lage unter Umständen genauer fixiert werden. Weiterführend wären Untersuchungen zur Charakterisierung des Supports auch für allgemeinere Korellationsmodelle, insbesondere für die Darstellung der Kovarianzmatrix der Kanalmatrix als Summe von Kroneckerprodukten, von Interesse. Weiterführend wäre die Einbindung von informationstheoretischen Methoden zur Erzeugung von Sicherheit gegen das Abhören beziehungsweise die Störung durch Dritte gerade auch für Mehrfachantennensysteme eine für zukünftige Arbeiten interessante Erweiterung der Untersuchungen.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- On the Boundedness of the Support of Optimal Input Measures for Rayleigh Fading Channels, Proceedings of ISIT 2008 (2008), 1208–1212
J. Sommerfeld, I. Bjelacović, and H. Boche
- Capacity results for compound wiretap channels, Proc. IEEE Information Theory Workshop (2011), 60–64
I. Bjelacović, H. Boche, and J. Sommerfeld
