Strukturoptimierung basierend auf der Singulärwertzerlegung der Empfindlichkeiten
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Die erweiterte Analyse der Empfindlichkeiten (Sensitivitäten) durch eine Singulärwertzerlegung der entsprechenden Pseudolast- und Sensitivitätsmatrizen ist bisher in der Literatur in der im Projekt durchgeführten Allgemeingültigkeit noch nicht formuliert worden. Es konnte gezeigt werden, dass die bisher unkorreliert aufgebauten Pseudolastvektoren, die die Pseudolastmatrix ausmachen, eine innere Struktur besitzen. Damit ist gemeint, dass Singulärvektoren und Singulärwerte mechanisch interpretierbar sind und wichtige Hinweise auf Haupteinflüsse geben. Ähnliches gilt für die Sensitivitätsmatrix. Der Aufwand zur Berechnung der Pseudolastmatrix ist mit dem der Steifigkeitsmatrix vergleichbar. Dagegen muss für die Berechnung der Sensitivitätsmatrix die Steifigkeitsmatrix invertiert werden. Der Einsatz dieser Matrix in praxisrelevanten Beispielen ist deshalb kaum möglich. Die Untersuchungen wurden für die Topologieoptimierung und die knotenbasierte Formoptimierung durchgeführt. Damit wurden die wesentlichen Arbeitsgebiete der Strukturoptimierung betrachtet. In beiden Fällen ist es für den Einsatz der beschriebenen Singulärwertzerlegung notwendig, die Modellbildung unter Verwendung aller bekannten Eigenschaften der Struktur durchzuführen. Bekannte Defizite sollten aus dem Modell entfernt werden. Dieses sind zum Beispiel Symmetrien, Redundanzen im Designmodell (lineare Abhängigkeiten), Inkompatibilitäten zwischen Strukturverhalten (Energieminimierung) und Strukturoptimierung (Minimierung der Nachgiebigkeit) sowie Stabilitätsprobleme der FE-Formulierung (Design-Filter zur Vermeidung von Checkerboard-Muster und Verzacken der Ränder). Die genannten Phänomene beeinflussen auch die ermittelten Sinulärwertzerlegungen in dem Sinne, dass die Interpretation relevanter Einflüsse durch diese Nebenwirkungen erschwert wird. Die Interpretation der ermittelten Singulärwertzerlegung wurde zur Formulierung reduzierter quadratischer Subprobleme des SQP-Verfahrens (Sequential Quadratic Programming) verwendet. Es zeigt sich, dass die Suche mit wenigen hochwertigen Designvariablen, die sehr gut das Tragverhalten und das aktuelle Optimierungsziel repräsentieren, erfolgreich sein kann. In den Beispielproblemen wurde die Anzahl der verwendeten Designvariablen um teilweise 90 Prozent reduziert. Insgesamt wurde gezeigt, dass aus den ermittelten Empfindlichkeiten weitergehende wertvolle Informationen extrahiert werden können. Eine quantitative Methodik wurde (aus bekannten Einsatzgebieten der SVD in anderen Disziplinen) erstmals in diesem Projekt für die Strukturoptimierung formuliert. Diese Methodik erfordert einen erhöhten theoretischen und numerischen Aufwand, der sich insbesondere dann rechtfertigt, wenn Grundlagenbetrachtungen vorgenommen werden sollen. Der entwickelte Algorithmus beruht auf einer Arbeitshypothese. Daher ist es im nächsten Schritt notwendig, das Laufzeitverhalten der Singulärwertzerlegung näher zu betrachten und zu optimieren. Weiterhin sind die gewählten Modellprobleme in ihrer Komplexität bezüglich der Wahl der Zielfunktion und der Nebenbedingungen zu erweitern. Die Bandbreite der betrachteten Problemklassen (Topologie und Form) kann um Studien zur Parameteridentifikation angereichert werden. Damit könnten vergleichende Untersuchungen durchgeführt werden, da Topologie, Form und Materialparameter zu unterschiedlichen Strukturen der Designräume führen. Die Betrachtung der Stabilität der gewählten FEM-Formulierung (Checkerboard und Verzacken) erfordert auch Sensitvitätsinformationen, d.h. die entwickelte Sichtweise kann auch an dieser Stelle hilfreich sein.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Applications of singular value decomposition (SVD) in structural optimisation. 3rd GACM Colloquium on Computational Mechanics. 21-23 September 2009
- Applications of singular value decomposition (SVD) in structural optimisation. 80th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM). Gdansk University of Technology, Polen, 9-13 Feb. 2009
- Applications of singular value decomposition (SVD) in structural optimisation. Advances in Topology and Material Optimization - Methods and Industrial Applications. DTU, 2009, Copenhagen, Denmark, September 23-25
- Advanced analysis of sensitivities in structural optimization. ’Advances in topology and composite optimization’ Workshop in honour of M.P. Bendsøe Honorary doctorate of University of Liege. University of Liege, Sart Tilman Campus, Belgium, October 15, 2010
- Model reduction in topology optimisation analysing the inner structure of sensitivity matrices. 81th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM). 22-26 March 2010
- Model Reduction in Topology Optimisation using Singular Value Decomposition (SVD). IV European Conference on Computational Mechanics (ECCM). Palais des Congrès, Paris, France, May 16-21, 2010
- Shape optimisation analysing the inner structure of sensitivity matrices. 82th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (GAMM). TU Graz, 18-21 Apr. 2011
