SPP 1388:  Representation Theory (Darstellungstheorie)

• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2009 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 72926371

Die Darstellungstheorie ist eine Querschnittsdisziplin der reinen Mathematik und als solche eng mit vielen anderen Gebieten in Mathematik und Naturwissenschaften verbunden. Ihr Anwendungsbereich ist ungewöhnlich weit gefächert. In der Chemie verwendet man Darstellungstheorie etwa bei der Untersuchung der Symmetrien von Molekülen, in der Physik ist die Quantenmechanik ein klassischer Anwendungsbereich. Weitere Beispiele von Anwendungsgebieten in der Physik und angrenzenden Gebieten sind integrable Gittermodelle, die Theorie der Elementarteilchen, Zufallsmatrixtheorie, Stringtheorie und Quantum Computing. Zu den vielen Zweigen der Mathematik, in denen die Darstellungstheorie eine wichtige Rolle spielt, gehören Algebraische Geometrie, Topologie, Zahlentheorie und Differentialgeometrie.
Begründet wurde die Darstellungstheorie gegen Ende des 19. Jahrhunderts durch Frobenius im Rahmen seiner Untersuchungen von endlichen Gruppen. Anfang des 20. Jahrhunderts wurden fundamentale Grundlagen, Objekte und Begriffe durch Pioniere wie Schur, Burnside, Cartan, Killing, Noether, Weyl und Brauer entwickelt. Heute ist die Darstellungstheorie wegen ihrer universellen Anwendbarkeit und der Vielfalt ihrer Ausformungen interdisziplinär ausgerichtet und stellt ein mathematisch-naturwissenschaftliches Ordnungsprinzip bereit.
Seit den Anfängen der Darstellungstheorie haben gewichtige Umbrüche in der Sichtweise und der konzeptionellen Vorgehensweise zur Bildung und Neuausrichtung von Teilgebieten geführt. Seit einigen Jahren bewegen sich die Teilbereiche der Darstellungstheorie mit zunehmender Geschwindigkeit wieder aufeinander zu. Neue fachübergreifende methodische Zugänge entstehen, und die innovative Kombination und Weiterentwicklung von Methoden ermöglicht vertiefte Einsichten in Grundprobleme ebenso wie verbesserte Anwendungen.
Die Herausforderung für das Schwerpunktprogramm besteht darin, die Zusammenarbeit der Teildisziplinen bei der Lösung von Grundlagenproblemen, bei der Entwicklung neuer Methoden und bei deren Anwendungen innerhalb und außerhalb der Darstellungstheorie zu fördern und übergreifende und interdisziplinäre Aktivitäten zu organisieren und zu unterstützen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Internationaler Bezug: Schweiz, USA

Projekte

• Actions of Algebraic Groups, Fans and Tilting Modules (Antragsteller Hille, Lutz )
• Affine Nichols algebras of diagonal type and modular tensor categories (Antragsteller Cuntz, Michael )
• Algebraic group techniques for finite(ly presented) groups (Antragsteller Plesken, Wilhelm )
• Asymptotic branching laws for finite dimensional representations of complex reductive Lie groups by geometric methods (Antragsteller Seppänen, Henrik )
• Block Structure, Fusion Systems and Conjectures of Brauer and Olsson (Antragsteller Külshammer, Burkhard )
• Branching laws for 1-parameter families of representations of Lie groups and their asymptotic behavior (Antragsteller Hilgert, Joachim )
• Classical Yang-Baxter equation and sheaves on degenerations of elliptic curves (Antragsteller Burban, Igor )
• Cluster categories and torsion theory (Antragsteller Holm, Thorsten )
• Cluster-categories, cluster-tilted algebras and derived equivalences (Antragsteller Holm, Thorsten )
• Combinatorial and geometric aspects of the representation theory of finite group schemes (Antragsteller Farnsteiner, Rolf )
• Complex geometry of actions and related representations (Antragsteller Heinzner, Peter )
• Coordinator project (Antragsteller Littelmann, Peter )
• Critical level representations of affine Kac-Moody algebras and the geometric Langlands program (Antragsteller Fiebig, Peter )
• Derived categories of sheaves over finite partially ordered sets and their homological properties (Antragsteller Ladkani, Sefi )
• Dualities in the representation theory and geometry of loop groups (Antragsteller Fiebig, Peter )
• Gabriel-Roiter measure for finite dimensional algebras (Antragsteller Chen, Bo )
• Geometry and representation theory in computational complexity (Antragsteller Bürgisser, Peter )
• Geometry and the compression of combinatorial formulas for Macdonald polynomals (Antragsteller Littelmann, Peter )
• Hermitian symmetric modular category O (Antragsteller Soergel, Wolfgang )
• Higher Schur-Weyl dualities and gradings (Antragstellerin Stroppel, Catharina )
• Homogeneous Einstein metrics and their geometric properties (Antragstellerin Agricola, Ilka )
• Homological mirror symmetry for Singularities (Antragsteller Ebeling, Wolfgang )
• Homological structures at the interface of abstract representation theory and algebraic Lie theory (Antragsteller Koenig, Steffen )
• Invariant theory of theta-representations (Antragstellerin Yakimova, Oksana )
• Investigations into the Abelian Defect Group Conjecture (Antragstellerin Danz, Susanne )
• Investigations on Alperin's Weight Conjecture by means of Auslander-Reiten Quivers (Antragstellerin Naehrig, Natalie )
• Investigations on the conjectures of McKay and Alperin-McKay (Antragsteller Malle, Gunter )
• Koszul duality in representation theory (Antragsteller Soergel, Wolfgang )
• Matrix Factorizations and complete Intersection-rings (Antragsteller Burke, Jesse )
• Multiplicity Free Actions (Antragsteller Knop, Friedrich )
• Non-commutative crepant resolutions and their DT invariants (Antragsteller Mozgovoy, Sergey )
• p-adic group rings of finite groups (Antragstellerin Nebe, Gabriele )
• PBW-filtration of representations, degenerate flag varieties and polytopes (Antragsteller Littelmann, Peter )
• Polyhedral models of representation (Antragsteller Bliem, Thomas )
• Polyhedral models of representations (Antragsteller Bliem, Thomas )
• Positivity in cluster algebras and its relations with categorifications of cluster algebras and total positivity in semisimple algebraic groups (Antragsteller Cerulli Irelli, Giovanni )
• Purity of stable pieces in compactifications of semisimple groups (Antragsteller Wedhorn, Torsten )
• Quiver moduli and quantized Donaldson-Thomas type invariants (Antragsteller Reineke, Markus )
• Quiver representations, singularity categories, and monoidal structures (Antragsteller Krause, Henning )
• Recollements and stratifications of derived module categories (Antragsteller Koenig, Steffen )
• Representation and category theoretic aspects of logarithmic conformal field theories (Antragsteller Schweigert, Christoph )
• Representation theoretic tools for equivariant and orbifold conformal field theories (Antragsteller Schweigert, Christoph )
• Representation Theory of the Unitary and Symmetric Group with a view towards the Quantum Marginal Problem (Antragsteller Christandl, Ph.D., Matthias )
• Representations of Algebraic Groups in Differential and Difference Galois Theory (Antragstellerin Hartmann, Julia )
• Restricting Specht Modules of Finite General Linear Groups to the Unitriangular Subgroup (Antragsteller Dipper, Richard )
• Semibounded unitary representations of infinite dimensional Lie groups (Antragsteller Neeb, Karl-Hermann )
• Serre's notion of complete reducibility and geometric invariant theory (Antragsteller Röhrle, Gerhard )
• Shuffles and Schur positivity (Antragsteller Fourier, Ghislain )
• Spectral theory of Green functors and other commutative 2-rings (Antragsteller Dell`Ambrogio, Ivo )
• Spherical subalgebras of quantized enveloping algebras - structure theory and classification problems (Antragsteller Heckenberger, István )
• Structural and geometric study of representations with applications to categorification (Antragsteller Penkov, Ivan )
• Structure and representation of cyclotomic Hecke algebras (Antragsteller Malle, Gunter )
• The telescope conjecture for derived categories arising in representation theory (Antragsteller Krause, Henning )
• Toric structures in derived categories and representations of algebras (Antragsteller Perling, Markus )

• Sprecher: Professor Dr. Peter Littelmann