Erweiterung dynamischer Systeme - jenseits der traditionellen Grenze von Vektorräumen

• Antragsteller: Dr. Thomas Lorenz
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2008 bis 2011
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 74626896

Die zeitliche Entwicklung von Formen ist eine Gemeinsamkeit vieler Modelle in den Naturwissenschaften (z.B. Kristallwachstum oder Zellpopulationen auf einem Nährmedium). Will man konzeptionelle Einschränkungen der Formen während deren Evolution so weit wie möglich vermeiden, so führt das mathematisch zu Teilmengen des euklidischen Raumes RN. Sie haben aber keine offensichtliche lineare Struktur mehr, sondern nur Abstände. Das belegt die Notwendigkeit, eine selbst gesteuerte Dynamik jenseits der traditionellen Vektorräume zu präzisieren. Gewöhnliche Differentialgleichungen brauchen eine Verallgemeinerung auf Mengen ohne lineare Struktur (wie metrische Räume). Das Ziel besteht darin, eine breite Palette von dynamischen Anwendungsbeispielen in einem einheitlichen analytischen Rahmen zu behandeln. Dazu gehören z.B. deterministische bzw. stochastische Evolutionen von Mengen nichtlokale Reaktions–Diffusions–Gleichungen Transportgleichungen sowohl für Kontinua als auch diskrete Verteilungen. Ihre Koppelung führt zu nichtlokalen dynamischen Randwertproblemen, wie sie in der Formoptimierung, in Populationsmodellen und Verkehrsmodellen auftreten. Ein wesentlicher Nutzen dieser Rahmentheorie besteht in der Existenz von Lösungen für Systeme. Wenn nämlich ein Anwendungsbeispiel - separat betrachtet - in diesen Rahmen passt, dann kann es direkt mit allen anderen Beispielen in Systemen gekoppelt werden. Andernfalls wird die bestehende Theorie geeignet erweitert. Im Rahmen dieses Projektes soll eine Habilitation in Mathematik abgeschlossen werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen