Berechnungskomplexität der Bettizahlen komplex-algebraischer Varietäten

• Antragsteller: Dr. Peter Scheiblechner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2008 bis 2010
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 79828278

Das algorithmische Problem der Berechnung der Topologie semialgebraischer Mengen ist ausgiebig studiert. Im Gegensatz dazu gibt es viel weniger Arbeiten über das entsprechende Problem für komplexe Varietäten. Auch wenn die reellen Algorithmen ebenso auf den komplexen Fall angewandt werden können, ist es aus folgenden Gründen sinnvoll, diesen Fall gesondert zu studieren: Erstens könnte es wegen der rigiden Natur der komplexen Geometrie effizientere Algorithmen geben. Zweitens können algebraische Algorithmen, d.h. solche, die nur die Körperstruktur von C benutzen, möglicherweise auf allgemeinere Klassen von Körpern angewandt werden (etwa auf Körper positiver Charakteristik). Schließlich können die komplexen Methoden auch für den reellen Fall nützlich sein. Das Ziel dieses Projekts ist es, die Komplexität der Berechnung topologischer Bettizahlen komplexer Varietäten strukturell zu verstehen, d.h. Vollständigkeit in einer Komplexitätsklasse zu beweisen. Insbesondere sollen Algorithmen mit parallel polynomieller Laufzeit entwickelt werden. Da das allgemeine Problem wohl nicht in polynomialer Zeit lösbar ist, interessieren uns auch Einschränkungen (etwa eine kleine Zahl von Gleichungen oder Termen) und Spezialfälle (etwa glatte Varietäten oder vollständige Durchschnitte), die in diesem Sinne effizient lösbar sind. Dies hilft die Ursachen der Komplexität des Problems zu identifizieren. Neben der Berechnung der Bettizahlen sollen auch andere Probleme der algebraischen Geometrie behandelt werden, wie etwa das Zählen der irreduziblen Komponenten einer Varietät.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeberin: Professorin Dr. Agnes Szánto